Учебник математики для 5-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 12 Петерсон — Подробные Ответы
1) 2 ⊗ 3 = 2 · 3 + 2 + 3 = 6 + 5 = 11;
4 ⊗ 9 = 4 · 9 + 4 + 9 = 36 + 13 = 49;
0 ⊗ 712 = 0 · 712 + 0 + 712 = 0 + 712 = 712;
5 ⊗ 8 = 5 · 8 + 5 + 8 = 40 + 13 = 53;
2 ⊗ 8 + 3 ⊗ 8 = 2 · 8 + 2 + 8 + 3 · 8 + 3 + 8 =
= 16 + 10 + 24 + 11 = (16 + 24) + (10 + 11) = 40 + 21 = 61.
Доказать, что a ⊗ b = b ⊗ a:
a ⊗ b = ab + a + b;
b ⊗ a = ba + b + a.
Так как ab + a + b = ba + b + a, то
a ⊗ b = b ⊗ a — что и требовалось доказать.
Доказать, что a ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c.
a ⊗ (b ⊗ c) = a · (b ⊗ c) + a + (b ⊗ c) =
= a · (bc + b + c) + a + (bc + b + c) =
= abc + ab ⊕ ac + a + bc + b + c;
(a ⊗ b) ⊗ c = (a ⊗ b) · c + (a ⊗ b) + c =
= (ab + a + b) · c + (ab + a + b) + c =
= abc + ac + bc + ab + a + b + c.
Доказать, что (a + b) ⊗ c = a ⊗ c + b ⊗ c:
(a+b) ⊗ c = (a+b) · c + (a+b) + c = ac + bc + a + b + c;
a ⊗ c + b ⊗ c = ac + a + c + bc + b + c = ac + bc + a + b + c.
Так как ac + bc + a + b + c = ac + bc + a + b + 2c, то
(a + b) ⊗ c ≠ a ⊗ c + b ⊗ c, то есть, распределительное свойство не выполняется.
a ⊗ x = a
ax + a + x = a
ax + x = a — a
x(a + 1) = 0
x = 0 → свойством единицы обладает число 0.
a ⊗ x = x
ax + a + x = x
ax + a = x — x
a(x + 1) = 0 → свойством нуля никакое натуральное число не обладает.
1) 2 ⊗ 3 = 2 · 3 + 2 + 3 = 6 + 5 = 11;
4 ⊗ 9 = 4 · 9 + 4 + 9 = 36 + 13 = 49;
0 ⊗ 712 = 0 · 712 + 0 + 712 = 0 + 712 = 712;
5 ⊗ 8 = 5 · 8 + 5 + 8 = 40 + 13 = 53;
2 ⊗ 8 + 3 ⊗ 8 = 2 · 8 + 2 + 8 + 3 · 8 + 3 + 8 =
= 16 + 10 + 24 + 11 = (16 + 24) + (10 + 11) = 40 + 21 = 61.
Доказать, что a ⊗ b = b ⊗ a:
a ⊗ b = ab + a + b;
b ⊗ a = ba + b + a.
Так как ab + a + b = ba + b + a, то
a ⊗ b = b ⊗ a — что и требовалось доказать.
Доказать, что a ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c.
a ⊗ (b ⊗ c) = a · (b ⊗ c) + a + (b ⊗ c) =
= a · (bc + b + c) + a + (bc + b + c) =
= abc + ab ⊕ ac + a + bc + b + c;
(a ⊗ b) ⊗ c = (a ⊗ b) · c + (a ⊗ b) + c =
= (ab + a + b) · c + (ab + a + b) + c =
= abc + ac + bc + ab + a + b + c.
Доказать, что (a + b) ⊗ c = a ⊗ c + b ⊗ c:
(a+b) ⊗ c = (a+b) · c + (a+b) + c = ac + bc + a + b + c;
a ⊗ c + b ⊗ c = ac + a + c + bc + b + c = ac + bc + a + b + c.
Так как ac + bc + a + b + c = ac + bc + a + b + 2c, то
(a + b) ⊗ c ≠ a ⊗ c + b ⊗ c, то есть, распределительное свойство не выполняется.
a ⊗ x = a
ax + a + x = a
ax + x = a — a
x(a + 1) = 0
x = 0 → свойством единицы обладает число 0.
a ⊗ x = x
ax + a + x = x
ax + a = x — x
a(x + 1) = 0 → свойством нуля никакое натуральное число не обладает.
1. Вычисления операции ⊗:
— 2 ⊗ 3 = 2 · 3 + 2 + 3 = 6 + 5 = 11
— 4 ⊗ 9 = 4 · 9 + 4 + 9 = 36 + 13 = 49
— 0 ⊗ 712 = 0 · 712 + 0 + 712 = 0 + 712 = 712
— 5 ⊗ 8 = 5 · 8 + 5 + 8 = 40 + 13 = 53
— 2 ⊗ 8 + 3 ⊗ 8 = (2 · 8 + 2 + 8) + (3 · 8 + 3 + 8) = 16 + 10 + 24 + 11 = (16 + 24) + (10 + 11) = 40 + 21 = 61
2. Доказательство a ⊗ b = b ⊗ a:
— Пусть a ⊗ b = ab + a + b
— Тогда b ⊗ a = ba + b + a
— Так как ab + a + b = ba + b + a, то a ⊗ b = b ⊗ a
— Это доказывает, что операция ⊗ коммутативна, то есть, порядок операндов не влияет на результат.
3. Доказательство a ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c:
— a ⊗ (b ⊗ c) = a · (b ⊗ c) + a + (b ⊗ c)
= a · (bc + b + c) + a + (bc + b + c)
= abc + ab + ac + a + bc + b + c
— (a ⊗ b) ⊗ c = (a ⊗ b) · c + (a ⊗ b) + c
= (ab + a + b) · c + (ab + a + b) + c
= abc + ac + bc + ab + a + b + c
— Видим, что выражения равны, следовательно, доказано, что операция ⊗ ассоциативна, то есть, порядок выполнения операций не влияет на результат.
4. Доказательство (a + b) ⊗ c ≠ a ⊗ c + b ⊗ c:
— (a + b) ⊗ c = (a + b) · c + (a + b) + c = ac + bc + a + b + c
— a ⊗ c + b ⊗ c = ac + a + c + bc + b + c = ac + bc + a + b + 2c
— Так как ac + bc + a + b + 2c ≠ ac + bc + a + b + c, то распределительное свойство не выполняется.
5. Доказательство свойств единицы и нуля:
— a ⊗ x = a
ax + a + x = a
ax + x = a — a
x(a + 1) = 0
x = 0 → свойством единицы обладает число 0.
— a ⊗ x = x
ax + a + x = x
ax + a = x — x
a(x + 1) = 0 → свойством нуля никакое натуральное число не обладает.
Таким образом, мы более подробно разобрали каждое доказательство, чтобы полностью понять свойства операции ⊗.
Математика
