Рассмотрим по шагам:
Из числа 1 вычитается 1/2:
1 − 1/2 = 1/2
получается простая дробь.Из 2 вычитается 1/3:
2 − 1/3 = 1 2/3
здесь результат уже представлен в виде смешанного числа.Следующий шаг:
3 − 1/4 = 2 3/4
снова смешанное число, где целая часть на единицу меньше исходного числа.Затем:
4 − 1/5 = 3 4/5Далее:
5 − 1/6 = 4 5/6
Можно увидеть закономерность:
Каждый раз из числа n вычитается дробь 1/(n+1).
В результате получается число вида:
n − 1/(n+1) = (n−1) + n/(n+1)
Например:
6 − 1/7 = 5 6/7
7 − 1/8 = 6 7/8
8 − 1/9 = 7 8/9
и так далее.
Таким образом, каждый следующий результат представляет собой смешанное число, в котором целая часть на единицу меньше исходного числа, а дробная часть имеет числитель, равный этой целой части, а знаменатель на единицу больше.
Если рассмотреть 100-й шаг, то:
100 − 1/101 = ?
Сначала 100 можно представить как:
99 + 101/101
Тогда:
99 + 101/101 − 1/101 = 99 + (101 − 1)/101 = 99 + 100/101
Значит, результат равен 99 100/101.
Итог: на 100-м месте будет число 99 и 100/101.
