ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 260 Петерсон — Подробные Ответы

Выражение вида (a + c) − (b + d) позволяет определить, сколько учащихся на занятии в данный момент, если известно, сколько человек прибавилось и сколько выбыло.

Аналогичное по смыслу выражение (a − b) + (c − d) даёт тот же результат, только действия в нём сгруппированы иначе: сначала отдельно вычисляется изменение в каждой группе, а затем эти изменения суммируются.

Чтобы понять, почему выполняется равенство (a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d), удобно действовать по частям. Сначала из первого слагаемого первой суммы вычитается первое слагаемое второй суммы. Затем аналогично обрабатываются вторые слагаемые. После этого складываются полученные разности.

Рассмотрим числовой пример:
5 целых 8/11 минус 2 целых 4/11
Запишем это подробнее:
(5 + 8/11) − (2 + 4/11) = (5 − 2) + (8/11 − 4/11) = 3 + 4/11 = 3 4/11

Теперь проанализируем выражение (a + c) − (b + c).
Его можно упростить следующим образом:
(a − b) + (c − c) = a − b + 0 = a − b
Обе стороны равны, и равенство доказано.

Если теперь заменить в этом выражении сложение на умножение, а вычитание — на деление, то получим аналог:

(a : c) : (b : c) = a : b

Записав деление в виде дробей, выражение принимает следующий вид:

(a / c) ÷ (b / c) = a / b

Этот переход отражает правило сокращения дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим теперь обобщённую формулу:
(a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d)

Если в этом равенстве заменить сложение на умножение, а вычитание на деление, получится:

(a ⋅ c) : (b ⋅ d) = (a : b) ⋅ (c : d)

Это означает, что деление одного произведения на другое можно выполнить, если сначала разделить первые множители, затем вторые, а потом перемножить результаты.

Заменяя деление дробью, получаем:

(a ⋅ c) / (b ⋅ d) = (a / b) ⋅ (c / d)

Иными словами, частное произведений чисел a и c и чисел b и d равно произведению дробей a/b и c/d. Таким образом, обе стороны равны:

(a ⋅ c) / (b ⋅ d) = (a / b) ⋅ (c / d) = ac / bd

Это завершает доказательство.

Рассмотрим выражение вида (a + c) − (b + d). Такое выражение позволяет узнать, сколько всего учащихся осталось на занятиях, если известно, сколько человек прибавилось и сколько выбывших.

Аналогичное по смыслу выражение (a − b) + (c − d) даёт тот же результат. Здесь действия просто сгруппированы иначе: сначала определяется, сколько осталось после уменьшения одного количества, затем — после уменьшения другого, и затем эти два результата складываются.

Чтобы понять, почему выражения (a + c) − (b + d) и (a − b) + (c − d) дают одинаковый результат, удобно разбить вычисления на отдельные этапы. Сначала из первого слагаемого первой суммы нужно вычесть первое слагаемое второй суммы. Затем из второго слагаемого первой суммы вычитается второе слагаемое второй суммы. После этого два полученных результата складываются.

Разберём это на конкретном примере:

Пусть требуется вычислить:
5 целых 8/11 минус 2 целых 4/11
Можно представить это как:
(5 + 8/11) − (2 + 4/11)

Теперь выполним поэтапно:
Сначала 5 − 2 = 3
Затем 8/11 − 4/11 = 4/11
Теперь складываем: 3 + 4/11 = 3 4/11
Итак, обе части равенства совпали, значит, равенство выполняется.

Рассмотрим следующее выражение:
(a + c) − (b + c)
Это можно упростить, сгруппировав члены так:
(a − b) + (c − c)

Так как c − c = 0, получаем:
(a − b) + 0 = a − b
Таким образом, обе стороны выражения дают одинаковый результат, что и требовалось показать.

Теперь попробуем заменить в этом равенстве знаки. Вместо сложения подставим умножение, а вместо вычитания — деление. Тогда получим следующее равенство:

(a : c) : (b : c) = a : b

Если это записать через дроби, то получится:
(a / c) ÷ (b / c) = a / b

Это выражение отражает правило сокращения дробей. Если числитель и знаменатель дроби содержат общий множитель, их можно сократить на этот множитель. В данном случае и числитель, и знаменатель содержат деление на одно и то же число c.

Рассмотрим также более обобщённую форму:
(a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d)

Если в этом равенстве также заменить сложение на умножение, а вычитание на деление, получится новое равенство:

(a ⋅ c) : (b ⋅ d) = (a : b) ⋅ (c : d)

Это можно интерпретировать следующим образом:
Если нужно разделить произведение двух чисел на другое произведение, можно сначала разделить первые множители, затем разделить вторые множители, а затем перемножить полученные частные.

Перепишем это выражение в виде дроби:
(a ⋅ c) / (b ⋅ d) = (a / b) ⋅ (c / d)

Это означает, что частное произведений чисел a и c и чисел b и d эквивалентно произведению дробей a/b и c/d. Оба выражения дают одинаковый результат:

(a ⋅ c) / (b ⋅ d) = (a / b) ⋅ (c / d) = ac / bd

Тем самым равенство доказано.