ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 268 Петерсон — Подробные Ответы

Проверим верность неравенства:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} < 1$$

Для наглядности воспользуемся рисунком и обозначим закрашенные части:

Коричневый цвет — это $\frac{1}{2}$ от всей фигуры
Синий — $\frac{1}{4}$
Фиолетовый — $\frac{1}{8}$
Зелёный — $\frac{1}{16}$
Жёлтый — $\frac{1}{32}$
Розовый — $\frac{1}{64}$

Каждая из этих долей занимает соответствующую часть от целого.
Однако, после закрашивания всех этих долей остаётся один маленький квадрат, равный $\frac{1}{64}$, который остался пустым.

Это означает, что сумма всех данных дробей не достигает целого числа — она меньше единицы ровно на $\frac{1}{64}$.

Следовательно, выражение слева действительно меньше 1 на величину $\frac{1}{64}$, что подтверждает справедливость неравенства.

Таким образом, утверждение доказано.

Рассмотрим выражение:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$$

Нам нужно доказать, что эта сумма меньше единицы. Для наглядности используем рисунок, на котором целый квадрат разделён на части, соответствующие каждой из указанных дробей.

Закрасим каждую часть следующим образом:

• Нижняя половина квадрата закрашена коричневым цветом. Она соответствует доле $\frac{1}{2}$ от всей фигуры.
• Далее синий прямоугольник занимает четверть квадрата, то есть $\frac{1}{4}$.
• Фиолетовая часть обозначает восьмую часть, то есть $\frac{1}{8}$.
• Зелёный прямоугольник — это шестнадцатая часть, $\frac{1}{16}$.
• Жёлтый участок равен $\frac{1}{32}$.
• Розовый квадрат представляет самую маленькую долю — $\frac{1}{64}$.

После закрашивания всех этих частей видно, что весь квадрат почти закрашен, но остаётся один маленький незакрашенный участок, равный ровно $\frac{1}{64}$ от целого.

Это значит, что сумма всех закрашенных долей составляет:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} = 1 — \frac{1}{64}$$

Таким образом, исходная сумма действительно меньше 1 на $\frac{1}{64}$. Мы это наглядно видим по рисунку: вся площадь квадрата представляет число 1, а сумма всех закрашенных частей не заполняет его полностью.

Следовательно, неравенство

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} < 1$$

верно. Разность между правой и левой частью равна $\frac{1}{64}$, что и требовалось показать.