ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 270 Петерсон — Подробные Ответы

Произведение выражений (a + b) и (c + d) раскрывается по распределительному закону:

$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, разбитого на части, можно сначала перемножить длину и ширину целиком, либо посчитать площадь каждой части отдельно, а затем сложить результаты.
Аналогично в алгебре: чтобы перемножить две суммы, нужно каждый член первой скобки умножить на каждый член второй, и сложить все произведения.

Примеры раскрытия скобок:

$$(x + 3)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 3 \cdot x + 3 \cdot 2 = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6$$

$$(4 + y)(1 + y) = 4 \cdot 1 + 4 \cdot y + y \cdot 1 + y \cdot y = 4 + 4y + y + y^2 = 4 + 5y + y^2$$

$$(5 + t)(5 + t) = 5^2 + 5t + 5t + t^2 = 25 + 10t + t^2$$

$$(k + 3)^2 = k^2 + 3k + 3k + 9 = k^2 + 6k + 9$$

Теперь рассмотрим формулы квадратов сумм:

$$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(c + d)^2 = c^2 + cd + cd + d^2 = c^2 + 2cd + d^2$$

Таким образом, квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов каждого слагаемого и удвоенному произведению этих слагаемых.

Рассмотрим общее распределительное свойство умножения суммы на сумму:

$$(a + b)(c + d)$$

Чтобы раскрыть скобки, нужно каждое слагаемое из первой скобки умножить на каждое из второй:

$$(a + b)(c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d = ac + ad + bc + bd$$

Это правило можно визуализировать через площадь прямоугольника, разбитого на четыре части: стороны a и b — это длины отдельных участков по горизонтали, c и d — по вертикали. Произведение даёт общую площадь, равную сумме четырёх меньших прямоугольников.

Переходим к конкретным примерам:

$$(x + 3)(x + 2)$$

Применяем распределительное свойство:
x умножается на x →

$x^2$

x на 2 →

$2x$

3 на x →

$3x$

3 на 2 → 6
Складываем:

$$x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6$$

Следующий пример:

$$(4 + y)(1 + y)$$

4 на 1 = 4
4 на y =

$4y$

y на 1 = y
y на y =

$y^2$

Складываем:

$$4 + 4y + y + y^2 = 4 + 5y + y^2$$

Пример:

$$(5 + t)^2 = (5 + t)(5 + t)$$

5 на 5 = 25
5 на t =

$5t$

t на 5 =

$5t$

t на t =

$t^2$

Складываем:

$$25 + 5t + 5t + t^2 = 25 + 10t + t^2$$

Следующий пример:

$$(k + 3)^2 = (k + 3)(k + 3)$$

k на k =

$k^2$

k на 3 =

$3k$

3 на k =

$3k$

3 на 3 = 9
Складываем:

$$k^2 + 3k + 3k + 9 = k^2 + 6k + 9$$

Теперь рассмотрим формулы сокращённого умножения.

Квадрат суммы:

$$(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$$

a на a =

$a^2$

a на b =

$ab$

b на a =

$ab$

b на b =

$b^2$

Суммируем:

$$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Аналогично:

$$(c + d)^2 = (c + d)(c + d)$$

Получаем:

$$c^2 + cd + cd + d^2 = c^2 + 2cd + d^2$$

Таким образом, можно сделать вывод:
при возведении суммы в квадрат результат всегда равен сумме квадратов каждого слагаемого плюс удвоенное произведение этих слагаемых.
Эти правила удобно использовать для упрощения выражений, вычислений и при решении уравнений.