ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 294 Петерсон — Подробные Ответы

а) Переместительное свойство умножения дробей
Поменяем множители местами:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b}$$

Перемножим числители и знаменатели:

$$\frac{ac}{bd} = \frac{ca}{db} \Rightarrow \frac{ac}{bd} = \frac{ac}{bd}$$

Равенство выполнено. Свойство подтверждено.

Сочетательное свойство умножения дробей

Рассмотрим выражение с тремя дробями:

$$\left( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \right) \cdot \frac{p}{q} = \frac{a}{b} \cdot \left( \frac{c}{d} \cdot \frac{p}{q} \right)$$

Вычислим обе стороны:

$$\frac{ac}{bd} \cdot \frac{p}{q} = \frac{a}{b} \cdot \frac{cp}{dq} = \frac{acp}{bdq}$$

Слева и справа получается одинаковое выражение. Свойство выполняется.

Распределительное свойство умножения дробей

Пусть у нас есть сумма двух дробей, умноженная на третью:

$$\left( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) \cdot \frac{p}{q}$$

Выполним умножение по правилу распределения:

$$= \frac{a}{b} \cdot \frac{p}{q} + \frac{c}{d} \cdot \frac{p}{q} = \frac{ap}{bq} + \frac{cp}{dq}$$

Сложим дроби с общим знаменателем

$bdq$

:

$$= \frac{adp + bcp}{bdq}$$

С другой стороны, сначала складываем дроби в скобках:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$

Умножаем на

$\frac{p}{q}$

:

$$\frac{ad + bc}{bd} \cdot \frac{p}{q} = \frac{(ad + bc) \cdot p}{bdq} = \frac{adp + bcp}{bdq}$$

Обе стороны совпадают. Свойство подтверждено.

б) Умножение дробей на ноль и на единицу

$$\frac{a}{b} \cdot 0 = 0, \quad 0 \cdot \frac{a}{b} = 0$$

$$\frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}, \quad 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$$

Все свойства выполнены.

а) переместительное свойство умножения дробей

рассмотрим произведение двух дробей:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$$

перемножаем числители и знаменатели:

$$\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

если поменять множители местами:

$$\frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} = \frac{c \cdot a}{d \cdot b}$$

но

$a \cdot c = c \cdot a$

, и

$b \cdot d = d \cdot b$

, следовательно:

$$\frac{a \cdot c}{b \cdot d} = \frac{c \cdot a}{d \cdot b}$$

итог: произведение не изменяется при перестановке мест множителей

сочетательное свойство умножения

рассмотрим выражение:

$$\left( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \right) \cdot \frac{p}{q}$$

сначала перемножим первые две дроби:

$$\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

теперь умножим результат на третью дробь:

$$\frac{a \cdot c}{b \cdot d} \cdot \frac{p}{q} = \frac{a \cdot c \cdot p}{b \cdot d \cdot q}$$

теперь поменяем порядок скобок:

$$\frac{a}{b} \cdot \left( \frac{c}{d} \cdot \frac{p}{q} \right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c \cdot p}{d \cdot q} = \frac{a \cdot c \cdot p}{b \cdot d \cdot q}$$

в обоих случаях результат одинаковый

распределительное свойство умножения

возьмём сумму двух дробей и умножим на третью:

$$\left( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) \cdot \frac{p}{q}$$

сложим дроби в скобках:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$

теперь умножим на

$\frac{p}{q}$

:

$$\frac{ad + bc}{bd} \cdot \frac{p}{q} = \frac{(ad + bc) \cdot p}{bdq}$$

раскроем скобки в числителе:

$$\frac{adp + bcp}{bdq}$$

теперь проверим с другой стороны:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{p}{q} + \frac{c}{d} \cdot \frac{p}{q} = \frac{ap}{bq} + \frac{cp}{dq}$$

приведём к общему знаменателю

$bdq$

:

$$\frac{ap \cdot d + cp \cdot b}{bdq} = \frac{adp + bcp}{bdq}$$

обе стороны равны — свойство выполняется

б) умножение на ноль и единицу

произведение любой дроби на ноль:

$$\frac{a}{b} \cdot 0 = 0 \cdot \frac{a}{b} = 0$$

умножение на единицу:

$$\frac{a}{b} \cdot 1 = 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$$

все свойства подтверждены вычислениями