ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 301 Петерсон — Подробные Ответы

Упростим произведение дробей:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}$$

Сократим последовательно одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$$\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{1}{5}$$

Посчитаем произведение:

$$\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{10}{11}$$

Числители и знаменатели сокращаются попарно:

$$\frac{6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11}=\frac{6}{11}$$

Произведение последовательных дробей:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \ldots \cdot \frac{24}{25}$$

Все числители и знаменатели сокращаются, остаётся:

$$\frac{2}{25} = \frac{1}{25}$$

Вычислим:

$$1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}$$

Сокращаем:

$$\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{1}{6}$$

Упрощаем дробь:

$$=\frac{6}{2}=3$$

Вычислим произведение выражений вида

$1 + \frac{1}{n}$

:

$$\left(1 + \frac{1}{4}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{5}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{6}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{7}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{8}\right)$$

Преобразуем каждую скобку в обыкновенную дробь:

$$\frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{9}{8}$$

Сокращаем всё:

$$\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$$

Посчитаем длинное произведение разностей:

$$\left(1 — \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 — \frac{1}{3}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 — \frac{1}{100}\right)$$

Преобразуем каждую скобку:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{99}{100}$$

Сокращаются все множители, остаётся:

$$\frac{1}{100}$$

1)
Вычислим:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}$$

Перемножим все числители и знаменатели:

$$\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}$$

Сокращаем одинаковые множители:

— 2 в числителе и знаменателе
— 3 в числителе и знаменателе
— 4 в числителе и знаменателе

Остаётся:

$$\frac{1}{5}$$

2)
Посчитаем произведение:

$$\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{10}{11}$$

Числители и знаменатели сокращаются последовательно:

— 7 сокращается
— 8 сокращается
— 9 сокращается
— 10 сокращается

Остаётся:

$$\frac{6}{11}$$

3)
Посчитаем:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \ldots \cdot \frac{24}{25}$$

Здесь каждый числитель сокращается с соседним знаменателем.
В числителе остаётся только 2, а в знаменателе — 25.

$$\frac{2}{25}$$

После сокращений:

$$\frac{1}{25}$$

4)
Вычислим:

$$1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}$$

Запишем произведение числителей и знаменателей:

Числитель:

$$1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$$

Знаменатель:

$$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$$

Сокращаем:

$$\frac{120}{720} = \frac{1}{6}$$

Но в решении показано, что:

$$\frac{6}{2} = 3$$

Значит, числитель:

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

,
знаменатель:

$2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$

Тогда:

$$\frac{120}{720} = \frac{1}{6}, но на рисунке показано: \frac{6}{2} = 3$$

Скорее всего, опечатка. В оригинале:

$$\frac{6}{2} = 3$$

5)
Вычислим:

$$(1 + \frac{1}{4}) \cdot (1 + \frac{1}{5}) \cdot (1 + \frac{1}{6}) \cdot (1 + \frac{1}{7}) \cdot (1 + \frac{1}{8})$$

Преобразуем каждую скобку в дробь:

$$\frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{9}{8}$$

Сокращаем:

— 5 и 5
— 6 и 6
— 7 и 7
— 8 и 8

Остаётся:

$$\frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$$

6)
Найти значение произведения:

$$(1 — \frac{1}{2}) \cdot (1 — \frac{1}{3}) \cdot (1 — \frac{1}{4}) \cdot \ldots \cdot (1 — \frac{1}{100})$$

Преобразуем каждое выражение:

$$1 — \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$$

Получаем:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{99}{100}$$

Это телескопическая цепочка:
Числители:

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 99$

Знаменатели:

$2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 100$

Всё сокращается, остаётся:

$$\frac{1}{100}$$