ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 319 Петерсон — Подробные Ответы

1. Пусть $$p$$ — простое число. Рассмотрим дробь

$$\frac{p}{p + 10}$$

которая сократима. Это утверждение верно, например, при $$p = 5$$:

$$\frac{5}{5 + 10} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$

—

2. Существует составное число $$k$$, для которого НОД $$(k; 15) = 1$$. Это утверждение истинно, например, при $$k = 14$$:

$$\text{НОД } (14; 15) = 1$$

—

3. Существует натуральное число $$n$$, для которого

$$\frac{n}{n + 10} > 1$$

это утверждение ложно, так как при любом $$n$$ числитель меньше знаменателя, и дробь всегда меньше 1.

—

4. Существует натуральное число $$m$$, для которого НОК $$(m; 15) = 5$$. Это утверждение ложно, так как число 5 не делится на 15 (поскольку $$5 < 15$$) и не может быть наименьшим общим кратным.

—

1. Рассмотрим простое число $$p$$. Мы анализируем дробь

$$\frac{p}{p + 10}.$$

Для того чтобы дробь была сокращаемой, необходимо, чтобы числитель и знаменатель имели общий делитель, отличный от 1. В данном случае, дробь сократима, если существует такое число, которое делит и $$p$$, и $$p + 10$$. Например, если взять $$p = 5$$, то мы получаем:

$$\frac{5}{5 + 10} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}.$$

Здесь дробь действительно сократилась, так как 5 делит и числитель, и знаменатель.

2. Теперь рассмотрим составное число $$k$$. Мы утверждаем, что существует такое число $$k$$, для которого наибольший общий делитель (НОД) с числом 15 равен 1. Это означает, что $$k$$ и 15 не имеют общих делителей, кроме 1. Например, если взять $$k = 14$$, мы можем вычислить НОД:

$$\text{НОД } (14; 15) = 1.$$

Это подтверждает, что 14 и 15 являются взаимно простыми числами.

3. Далее рассмотрим натуральное число $$n$$. Мы хотим выяснить, может ли выполняться неравенство

$$\frac{n}{n + 10} > 1.$$

Однако, при любом положительном значении $$n$$ числитель всегда будет меньше знаменателя, поскольку $$n + 10$$ всегда больше $$n$$. Таким образом, дробь

$$\frac{n}{n + 10}$$

всегда будет меньше 1. Поэтому данное утверждение оказывается ложным.

4. Наконец, рассмотрим натуральное число $$m$$ и утверждение о том, что НОК $$(m; 15) = 5$$. Это означает, что наименьшее общее кратное чисел $$m$$ и 15 равно 5. Однако, поскольку 5 меньше 15 и не может быть кратным числу 15, это утверждение также оказывается ложным. Число 5 не делится на 15, следовательно, не может быть наименьшим общим кратным для этих чисел.

—