Учебник математики для 5-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 321 Петерсон — Подробные Ответы
а) Если дробь \(\frac{p}{q}\) можно сократить, то существует такое разложение, что \(p = ab\) и \(q = ac\).
В таком случае дроби
\[
\frac{q}{p}, \quad \frac{p — q}{q}, \quad \frac{q + p}{p}, \quad \frac{p — 2q}{q}
\]
также будут сократимы:
\[
\frac{q}{p} = \frac{ac}{ab} = \frac{c}{b} \rightarrow \text{сокращается на } a
\]
\[
\frac{p — q}{q} = \frac{ab — ac}{ac} = \frac{a(b — c)}{ac} = \frac{b — c}{c} \rightarrow \text{сокращается на } a
\]
\[
\frac{q + p}{p} = \frac{ac + ab}{ab} = \frac{a(c + b)}{ab} = \frac{c + b}{b} \rightarrow \text{сокращается на } a
\]
\[
\frac{p — 2q}{q} = \frac{ab — 2ac}{ac} = \frac{a(b — 2c)}{ac} = \frac{b — 2c}{c} \rightarrow \text{сокращается на } a
\]
Таким образом, мы завершили доказательство.
б) Если дробь \(\frac{p}{q}\) несократима, это означает, что НОД \((p, q) = 1\).
Следовательно, дроби
\[
\frac{q}{p}, \quad \frac{p — q}{q}, \quad \frac{q + p}{p}, \quad \frac{p — 2q}{q}
\]
также окажутся несократимыми:
\[
\frac{q}{p} \rightarrow \text{несократима, так как } \text{НОД}(p, q) = 1
\]
\[
\frac{p — q}{q} = \frac{p}{q} — 1 \rightarrow \text{несократима, так как } \frac{p}{q} \text{ несократима}
\]
\[
\frac{q + p}{p} = \frac{q}{p} + 1 \rightarrow \text{несократима, так как } \frac{q}{p} \text{ несократима}
\]
\[
\frac{p — 2q}{q} = \frac{p}{q} — 2 \rightarrow \text{несократима, так как } \frac{p}{q} \text{ несократима}
\]
Таким образом, мы завершили доказательство.
а) Если дробь \(\frac{p}{q}\) сократима, это означает, что существует такое разложение, при котором \(p = ab\) и \(q = ac\) для некоторого общего делителя \(a\).
Теперь рассмотрим дроби:
1. \(\frac{q}{p}\):
\[
\frac{q}{p} = \frac{ac}{ab} = \frac{c}{b}
\]
Здесь дробь сокращается на \(a\).
2. \(\frac{p — q}{q}\):
\[
\frac{p — q}{q} = \frac{ab — ac}{ac} = \frac{a(b — c)}{ac} = \frac{b — c}{c}
\]
Эта дробь также сокращается на \(a\).
3. \(\frac{q + p}{p}\):
\[
\frac{q + p}{p} = \frac{ac + ab}{ab} = \frac{a(c + b)}{ab} = \frac{c + b}{b}
\]
И эта дробь сокращается на \(a\).
4. \(\frac{p — 2q}{q}\):
\[
\frac{p — 2q}{q} = \frac{ab — 2ac}{ac} = \frac{a(b — 2c)}{ac} = \frac{b — 2c}{c}
\]
И в этой дроби также происходит сокращение на \(a\).
Таким образом, мы доказали, что все указанные дроби сократимы.
б) Если дробь \(\frac{p}{q}\) несократима, это значит, что НОД \((p, q) = 1\).
Теперь рассмотрим те же дроби:
1. \(\frac{q}{p}\): Поскольку НОД \((p, q) = 1\), то НОД также будет равен 1 для дроби \(\frac{q}{p}\), что делает её несократимой.
2. \(\frac{p — q}{q}\): Здесь мы имеем \(p — q\) и \(q\). Поскольку НОД \((p, q) = 1\), то НОД \((p — q, q)\) тоже равен 1, следовательно, эта дробь также несократима.
3. \(\frac{q + p}{p}\): Аналогично, НОД \((q + p, p)\) также будет равен 1, что делает эту дробь несократимой.
4. \(\frac{p — 2q}{q}\): В этом случае НОД \((p — 2q, q)\) также равен 1, значит и эта дробь несократима.
Таким образом, мы пришли к выводу, что все указанные дроби несократимы.
Математика
