ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 321 Петерсон — Подробные Ответы

а) Если дробь \(\frac{p}{q}\) можно сократить, то существует такое разложение, что \(p = ab\) и \(q = ac\).

В таком случае дроби

\[
\frac{q}{p}, \quad \frac{p — q}{q}, \quad \frac{q + p}{p}, \quad \frac{p — 2q}{q}
\]

также будут сократимы:

\[
\frac{q}{p} = \frac{ac}{ab} = \frac{c}{b} \rightarrow \text{сокращается на } a
\]

\[
\frac{p — q}{q} = \frac{ab — ac}{ac} = \frac{a(b — c)}{ac} = \frac{b — c}{c} \rightarrow \text{сокращается на } a
\]

\[
\frac{q + p}{p} = \frac{ac + ab}{ab} = \frac{a(c + b)}{ab} = \frac{c + b}{b} \rightarrow \text{сокращается на } a
\]

\[
\frac{p — 2q}{q} = \frac{ab — 2ac}{ac} = \frac{a(b — 2c)}{ac} = \frac{b — 2c}{c} \rightarrow \text{сокращается на } a
\]

Таким образом, мы завершили доказательство.

б) Если дробь \(\frac{p}{q}\) несократима, это означает, что НОД \((p, q) = 1\).

Следовательно, дроби

\[
\frac{q}{p}, \quad \frac{p — q}{q}, \quad \frac{q + p}{p}, \quad \frac{p — 2q}{q}
\]

также окажутся несократимыми:

\[
\frac{q}{p} \rightarrow \text{несократима, так как } \text{НОД}(p, q) = 1
\]

\[
\frac{p — q}{q} = \frac{p}{q} — 1 \rightarrow \text{несократима, так как } \frac{p}{q} \text{ несократима}
\]

\[
\frac{q + p}{p} = \frac{q}{p} + 1 \rightarrow \text{несократима, так как } \frac{q}{p} \text{ несократима}
\]

\[
\frac{p — 2q}{q} = \frac{p}{q} — 2 \rightarrow \text{несократима, так как } \frac{p}{q} \text{ несократима}
\]

Таким образом, мы завершили доказательство.

а) Если дробь \(\frac{p}{q}\) сократима, это означает, что существует такое разложение, при котором \(p = ab\) и \(q = ac\) для некоторого общего делителя \(a\).
Теперь рассмотрим дроби:
1. \(\frac{q}{p}\):
\[
\frac{q}{p} = \frac{ac}{ab} = \frac{c}{b}
\]
Здесь дробь сокращается на \(a\).
2. \(\frac{p — q}{q}\):
\[
\frac{p — q}{q} = \frac{ab — ac}{ac} = \frac{a(b — c)}{ac} = \frac{b — c}{c}
\]
Эта дробь также сокращается на \(a\).
3. \(\frac{q + p}{p}\):
\[
\frac{q + p}{p} = \frac{ac + ab}{ab} = \frac{a(c + b)}{ab} = \frac{c + b}{b}
\]
И эта дробь сокращается на \(a\).
4. \(\frac{p — 2q}{q}\):
\[
\frac{p — 2q}{q} = \frac{ab — 2ac}{ac} = \frac{a(b — 2c)}{ac} = \frac{b — 2c}{c}
\]
И в этой дроби также происходит сокращение на \(a\).
Таким образом, мы доказали, что все указанные дроби сократимы.
б) Если дробь \(\frac{p}{q}\) несократима, это значит, что НОД \((p, q) = 1\).
Теперь рассмотрим те же дроби:
1. \(\frac{q}{p}\): Поскольку НОД \((p, q) = 1\), то НОД также будет равен 1 для дроби \(\frac{q}{p}\), что делает её несократимой.
2. \(\frac{p — q}{q}\): Здесь мы имеем \(p — q\) и \(q\). Поскольку НОД \((p, q) = 1\), то НОД \((p — q, q)\) тоже равен 1, следовательно, эта дробь также несократима.
3. \(\frac{q + p}{p}\): Аналогично, НОД \((q + p, p)\) также будет равен 1, что делает эту дробь несократимой.
4. \(\frac{p — 2q}{q}\): В этом случае НОД \((p — 2q, q)\) также равен 1, значит и эта дробь несократима.
Таким образом, мы пришли к выводу, что все указанные дроби несократимы.