Учебник математики для 5-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 358 Петерсон — Подробные Ответы
1. Доказательство: \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{16} < 4 \)
Сумма \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \) называется \( n \)-м гармоническим числом \( H_n \). Для оценки гармонических чисел существует следующее приближение:
\[
H_n \approx \ln(n) + \gamma,
\]
где \( \gamma \) — постоянная Эйлера-Маскерони (\( \gamma \approx 0.577 \)).
Для \( n = 16 \):
\[
H_{16} \approx \ln(16) + \gamma = \ln(2^4) + \gamma = 4\ln(2) + \gamma.
\]
Подставим значения:
\[
\ln(2) \approx 0.693, \quad \gamma \approx 0.577.
\]
Тогда:
\[
H_{16} \approx 4 \cdot 0.693 + 0.577 = 2.772 + 0.577 = 3.349.
\]
Таким образом:
\[
H_{16} < 4.
\]
Следовательно, утверждение доказано.
2. Доказательство: \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{64} < 6 \)
Аналогично первому случаю, используем приближение для гармонического числа:
\[
H_{64} \approx \ln(64) + \gamma = \ln(2^6) + \gamma = 6\ln(2) + \gamma.
\]
Подставим значения:
\[
\ln(2) \approx 0.693, \quad \gamma \approx 0.577.
\]
Тогда:
\[
H_{64} \approx 6 \cdot 0.693 + 0.577 = 4.158 + 0.577 = 4.735.
\]
Таким образом:
\[
H_{64} < 6.
\]
Следовательно, второе утверждение также доказано.
Вывод
Оба утверждения:
1. \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{16} < 4; \)
2. \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{64} < 6; \)
являются истинными.
1. Доказательство: 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/16 < 4
Сумма 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n называется n-м гармоническим числом H_n. Для оценки гармонических чисел существует приближённая формула:
H_n ≈ ln(n) + γ,
где γ — постоянная Эйлера-Маскерони (γ ≈ 0.577).
Рассмотрим случай n = 16. Тогда:
H_16 ≈ ln(16) + γ.
Зная, что ln(16) = ln(2^4) = 4 * ln(2), подставим значение ln(2) ≈ 0.693. Таким образом:
ln(16) ≈ 4 * 0.693 = 2.772.
Теперь добавим постоянную Эйлера-Маскерони:
H_16 ≈ 2.772 + 0.577 = 3.349.
Таким образом, H_16 < 4.
Для строгого доказательства можно также использовать неравенство:
H_n < 1 + ln(n),
которое даёт:
H_16 < 1 + ln(16) = 1 + 2.772 = 3.772.
И снова получаем, что H_16 < 4.
Следовательно, утверждение доказано.
2. Доказательство: 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/64 < 6
Аналогично первому случаю, используем приближённую формулу для гармонического числа:
H_n ≈ ln(n) + γ.
Для n = 64 имеем:
H_64 ≈ ln(64) + γ.
Зная, что ln(64) = ln(2^6) = 6 * ln(2), подставим значение ln(2) ≈ 0.693. Тогда:
ln(64) ≈ 6 * 0.693 = 4.158.
Добавим постоянную Эйлера-Маскерони:
H_64 ≈ 4.158 + 0.577 = 4.735.
Таким образом, H_64 < 6.
Для строгого доказательства можно также использовать неравенство:
H_n < 1 + ln(n),
которое даёт:
H_64 < 1 + ln(64) = 1 + 4.158 = 5.158.
И снова получаем, что H_64 < 6.
Следовательно, второе утверждение также доказано.
Математика
