Учебник математики для 5-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 400 Петерсон — Подробные Ответы
1) Определяемое понятие: Факториал.
2) Вычисления:
— \(2! = 1 \cdot 2 = 2\)
— \(3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6\)
— \(4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\)
— \(5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\)
— \(6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720\)
— \(10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot … \cdot 10 = 3628800\)
3) Сравнения:
— \( \frac{1}{4!} = \frac{1}{24} \) и \( \frac{1}{9!} = \frac{1}{362880} \) → \( \frac{1}{4!} > \frac{1}{9!} \)
— \( \frac{1}{56!} < \frac{1}{49!} \) (так как \(56! > 49!\))
— \( \frac{1}{n!} < \frac{1}{(n+3)!} \) (так как \((n+3)! > n!\))
4) Приведение к несократимому виду дробей:
— \( \frac{5!}{7!} = \frac{5!}{7 \cdot 6 \cdot 5!} = \frac{1}{42} \)
— \( \frac{6!}{4!} = \frac{6 \cdot 5}{1} = 30 \)
— \( \frac{5!}{3! \cdot 4!} = \frac{5}{4} = \frac{5}{4} \)
— \( \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7}{1} = 56 \)
— \( \frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{12}{5} = 792 \)
— \( \frac{100!}{98! \cdot 2!} = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950 \)
5) Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю:
— Для \(1/2!\) и \(1/5!\): НОЗ = \(120\), \(1/2! = 60/120\), \(1/5! = 1/120\) → \(60/120 + 1/120 = 61/120\)
— Для \(1/3!\) и \(1/4!\): НОЗ = \(24\), \(1/3! = 8/24\), \(1/4! = 1/24\) → \(8/24 + 1/24 = 9/24\)
— Для \(1/7!\) и \(1/5!\): НОЗ = \(840\), \(1/7! = 120/840\), \(1/5! = 42/840\) → \(120/840 + 42/840 = 162/840\)
— Для \(1/99!\) и \(1/100!\): НОЗ = \(100!\), \(1/99! = 100!/100!\), \(1/100! = 1/100!\) → \(100!/100! + 1/100! = (100 + 1)/100!\)
6) Значения разностей:
— \(1/2! — 1/3! = \frac{1}{2} — \frac{1}{6} = \frac{3 — 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
— \(1/3! — 1/4! = \frac{1}{6} — \frac{1}{24} = \frac{4 — 1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\)
— \(1/4! — 1/5! = \frac{1}{24} — \frac{1}{120} = \frac{5 — 1}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}\)
— \(1/5! — 1/6! = \frac{1}{120} — \frac{1}{720} = \frac{6 — 1}{720} = \frac{5}{720}\)
Следующие две разности:
— Разность: \(1/n! — 1/(n+1)! = \frac{(n+1)! — n!}{n!(n+1)!}\)
— Значение:
\[
= \frac{(n+1) — 1}{n!(n+1)!}
= \frac{n}{n!(n+1)!}
= \frac{n}{(n!)^2(n+1)}
\]
1) Определяемое понятие: факториал.
2) Вычисления:
— 2! = 1 · 2 = 2
— 3! = 1 · 2 · 3 = 6
— 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
— 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
— 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720
— 10! = 1 · 2 · 3 · … · 10 = 3628800
3) Сравнения:
— Для сравнения 1/4! и 1/9!:
1/4! = 1/24 и 1/9! = 1/362880. Поскольку 24 < 362880, то 1/4! > 1/9!.
— Для сравнения 1/56! и 1/49!:
Поскольку 56! > 49!, то 1/56! < 1/49!.
— Для сравнения 1/n! и 1/(n+3)!:
Поскольку (n+3)! > n!, то 1/n! > 1/(n+3)!.
4) Приведение к несократимому виду дробей:
— Для дроби 5!/7!:
Мы можем записать это как (5!) / (7 · 6 · 5!) = 1 / (7 · 6) = 1 / 42.
— Для дроби 6!/4!:
Это равно (6 · 5) / (1) = 30.
— Для дроби 5!/(3!·4!):
Это равно (5!) / (3! · (4 · 3 · 2 · 1)) = (5) / (4) = 5/4.
— Для дроби 8!/(4!·4!):
Это равно (8 · 7) / (4! = (4 · 3 · 2 · 1) = (4)(4)) = (8 · 7) / (16) = (56).
— Для дроби 12!/(5!·7!):
Это можно записать как (12 · … · 8) / ((5!)·(7!)). После упрощения получится значение, равное (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = (792).
— Для дроби 100!/(98!·2!):
Это равно (100·99)/(2) = (4950).
5) Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю:
— Для дробей 1/2! и 1/5!:
Общий знаменатель – это 120. Дроби будут:
(1/2!) = (60/120),
(1/5!) = (1/120).
Результат: (60 + 1)/120 = (61/120).
— Для дробей 1/3! и 1/4!:
Общий знаменатель – это 24. Дроби будут:
(1/3!) = (8/24),
(1/4!) = (6/24).
Результат: (8 + 6)/24 = (14/24) или (7/12).
— Для дробей 1/7! и 1/5!:
Общий знаменатель – это (7!). Дроби будут:
(1/7!) и (42/7!).
Результат: (42 + 1)/7! = (43/7!).
— Для дробей 1/99! и 1/100!:
Общий знаменатель – это (100!). Дроби будут:
(100/100!) и (1/100!).
Результат: (100 + 1)/100! = (101/100!).
6) Найти значение разностей:
— Для разности:
\( \frac{1}{2!} — \frac{1}{3!} \):
\( \frac{1}{2} — \frac{1}{6} = \frac{3}{6} — \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
— Для разности:
\( \frac{1}{3!} — \frac{1}{4!} \):
\( \frac{1}{6} — \frac{1}{24} = \frac{4}{24} — \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \).
— Для разности:
\( \frac{1}{4!} — \frac{1}{5!} \):
\( \frac{1}{24} — \frac{1}{120} = \frac{5}{120} — \frac{1}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30} \).
— Для разности:
\( \frac{1}{5!} — \frac{1}{6!} \):
\( \frac{1}{120} — \frac{1}{720} = \frac{6}{720} — \frac{1}{720} = \frac{5}{720} = \frac{1}{144} \).
Следующие две разности:
— \( \frac{1}{n!} — \frac{1}{(n+1)!} \):
Это можно записать как \( \frac{(n+1) — 1}{(n+1)n!} = \frac{n}{(n+1)n!} = \frac{1}{n!}. \)
Таким образом, разность \( \frac{1}{n!} — \frac{1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!}. \)
Математика
