ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 71 Петерсон — Подробные Ответы

a) Дроби

1. \( \frac{360}{945} \)

Разложение на множители:
— \( 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \)
— \( 945 = 3^3 \times 5 \times 7 \)

Общий делитель:
— Общие множители: \( 3^2 \) и \( 5 \)
— \( \text{НОД}(360, 945) = 3^2 \times 5 = 45 \)

Сокращение:
\[
\frac{360 \div 45}{945 \div 45} = \frac{8}{21}
\]

2. \( \frac{624}{768} \)

Разложение на множители:
— \( 624 = 2^4 \times 3 \times 13 \)
— \( 768 = 2^8 \times 3 \)

Общий делитель:
— Общие множители: \( 2^4 \) и \( 3 \)
— \( \text{НОД}(624, 768) = 2^4 \times 3 = 48 \)

Сокращение:
\[
\frac{624 \div 48}{768 \div 48} = \frac{13}{16}
\]

3. \( \frac{3950}{350} \)

Разложение на множители:
— \( 3950 = 2 \times 5^2 \times 79 \)
— \( 350 = 2 \times 5^2 \times 7 \)

Общий делитель:
— Общие множители: \( 2 \) и \( 5^2 \)
— \( \text{НОД}(3950, 350) = 2 \times 5^2 = 50 \)

Сокращение:
\[
\frac{3950 \div 50}{350 \div 50} = \frac{79}{7}
\]

б) Дроби

1. \( \frac{1260}{1980} \)

Разложение на множители:
— \( 1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 \)
— \( 1980 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 11 \)

Общий делитель:
— Общие множители: \( 2^2 \times 3^2 \times 5 \)
— \( \text{НОД}(1260, 1980) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180 \)

Сокращение:
\[
\frac{1260 \div 180}{1980 \div 180} = \frac{7}{11}
\]

2. \( \frac{5184}{5472} \)

Разложение на множители:
— \( 5184 = 2^6 \times 3^4 \)
— \( 5472 = 2^5 \times 3^5 \)

Общий делитель:
— Общие множители: \( 2^5 \times 3^4 \)
— \( \text{НОД}(5184, 5472) = 2^5 \times 3^4 = 432 \)

Сокращение:
\[
\frac{5184 \div 432}{5472 \div 432} = \frac{12}{13}
\]

3. \( \frac{4140}{9315} \)

Разложение на множители:
— \( 4140 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13 \)
— \( 9315 = 3 \times 5 \times 11 \times 17 \)

Общий делитель:
— Общие множители: \( 3 \) и \( 5 \)
— \( \text{НОД}(4140, 9315) = 15 \)

Сокращение:
\[
\frac{4140 \div 15}{9315 \div 15} = \frac{276}{621}
\]

Результаты

— \( \frac{360}{945} = \frac{8}{21} \)
— \( \frac{624}{768} = \frac{13}{16} \)
— \( \frac{3950}{350} = \frac{79}{7} \)
— \( \frac{1260}{1980} = \frac{7}{11} \)
— \( \frac{5184}{5472} = \frac{12}{13} \)
— \( \frac{4140}{9315} = \frac{276}{621} \)

Таким образом, все дроби сократимы.

a) дроби

1. дробь \( \frac{360}{945} \)

Для начала разложим числитель и знаменатель на простые множители.

— 360 можно разложить следующим образом:
— 360 делим на 2: \( 360 \div 2 = 180 \)
— 180 делим на 2: \( 180 \div 2 = 90 \)
— 90 делим на 2: \( 90 \div 2 = 45 \)
— 45 делим на 3: \( 45 \div 3 = 15 \)
— 15 делим на 3: \( 15 \div 3 = 5 \)
— 5 — простое число.

Таким образом, разложение 360 на простые множители: \( 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \).

Теперь разложим знаменатель 945:

— 945 делим на 3: \( 945 \div 3 = 315 \)
— 315 делим на 3: \( 315 \div 3 = 105 \)
— 105 делим на 3: \( 105 \div 3 = 35 \)
— 35 делим на 5: \( 35 \div 5 = 7 \)
— 7 — простое число.

Таким образом, разложение 945 на простые множители: \( 945 = 3^3 \times 5 \times 7 \).

Теперь найдем наибольший общий делитель (НОД). Общие множители:
— \( 3^2 \) и \( 5 \).

Следовательно,
\[
\text{НОД}(360, 945) = 3^2 \times 5 = 45.
\]

Сократим дробь:
\[
\frac{360 \div 45}{945 \div 45} = \frac{8}{21}.
\]

2. дробь \( \frac{624}{768} \)

Начнем с разложения числителя 624 на простые множители:

— 624 делим на 2: \( 624 \div 2 = 312 \)
— 312 делим на 2: \( 312 \div 2 = 156 \)
— 156 делим на 2: \( 156 \div 2 = 78 \)
— 78 делим на 2: \( 78 \div 2 = 39 \)
— 39 делим на 3: \( 39 \div 3 = 13 \)
— 13 — простое число.

Таким образом, разложение 624 на простые множители: \( 624 = 2^4 \times 3 \times 13 \).

Теперь разложим знаменатель 768:

— 768 делим на 2: \( 768 \div 2 = 384 \)
— 384 делим на 2: \( 384 \div 2 = 192 \)
— 192 делим на 2: \( 192 \div 2 = 96 \)
— 96 делим на 2: \( 96 \div 2 = 48 \)
— 48 делим на 2: \( 48 \div 2 = 24 \)
— 24 делим на 2: \( 24 \div 2 = 12 \)
— 12 делим на 2: \( 12 \div 2 = 6 \)
— 6 делим на 2: \( 6 \div 2 = 3 \)
— 3 — простое число.

Таким образом, разложение 768 на простые множители: \( 768 = 2^8 \times 3 \).

Теперь найдем НОД. Общие множители:
— \( 2^4 \) и \( 3 \).

Следовательно,
\[
\text{НОД}(624, 768) = 2^4 \times 3 = 48.
\]

Сократим дробь:
\[
\frac{624 \div 48}{768 \div 48} = \frac{13}{16}.
\]

3. дробь \( \frac{3950}{350} \)

Начнем с разложения числителя 3950 на простые множители:

— 3950 делим на 2: \( 3950 \div 2 = 1975 \)
— 1975 делим на 5: \( 1975 \div 5 = 395 \)
— 395 делим на 5: \( 395 \div 5 = 79 \)
— 79 — простое число.

Таким образом, разложение 3950 на простые множители: \( 3950 = 2 \times 5^2 \times 79 \).

Теперь разложим знаменатель 350:

— 350 делим на 2: \( 350 \div 2 = 175 \)
— 175 делим на 5: \( 175 \div 5 = 35 \)
— 35 делим на 5: \( 35 \div 5 = 7 \)
— 7 — простое число.

Таким образом, разложение 350 на простые множители: \( 350 = 2 \times 5^2 \times 7 \).

Теперь найдем НОД. Общие множители:
— \( 2 \) и \( 5^2 \).

Следовательно,
\[
\text{НОД}(3950, 350) = 2 \times 5^2 = 50.
\]

Сократим дробь:
\[
\frac{3950 \div 50}{350 \div 50} = \frac{79}{7}.
\]

б) дроби

1. дробь \( \frac{1260}{1980} \)

Начнем с разложения числителя 1260 на простые множители:

— 1260 делим на 2: \( 1260 \div 2 = 630 \)
— 630 делим на 2: \( 630 \div 2 = 315 \)
— 315 делим на 3: \( 315 \div 3 = 105 \)
— 105 делим на 3: \( 105 \div 3 = 35 \)
— 35 делим на 5: \( 35 \div 5 = 7 \)
— 7 — простое число.

Таким образом, разложение 1260 на простые множители: \( 1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 \).

Теперь разложим знаменатель 1980:

— 1980 делим на 2: \( 1980 \div 2 = 990 \)
— 990 делим на 2: \( 990 \div 2 = 495 \)
— 495 делим на 3: \( 495 \div 3 = 165 \)
— 165 делим на 3: \( 165 \div 3 = 55 \)
— 55 делим на 5: \( 55 \div 5 = 11 \)
— 11 — простое число.

Таким образом, разложение 1980 на простые множители: \( 1980 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 11 \).

Теперь найдем НОД. Общие множители:
— \( 2^2 \times 3^2 \times 5 \).

Следовательно,
\[
\text{НОД}(1260, 1980) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180.
\]

Сократим дробь:
\[
\frac{1260 \div 180}{1980 \div 180} = \frac{7}{11}.
\]

2. дробь \( \frac{5184}{5472} \)

Начнем с разложения числителя 5184 на простые множители:

— 5184 делим на 2: \( 5184 \div 2 = 2592 \)
— 2592 делим на 2: \( 2592 \div 2 = 1296 \)
— 1296 делим на 2: \( 1296 \div 2 = 648 \)
— 648 делим на 2: \( 648 \div 2 = 324 \)
— 324 делим на 2: \( 324 \div 2 = 162 \)
— 162 делим на 2: \( 162 \div 2 = 81 \)
— 81 делим на 3: \( 81 \div 3 = 27 \)
— 27 делим на 3: \( 27 \div 3 = 9 \)
— 9 делим на 3: \( 9 \div 3 = 3 \)
— 3 — простое число.

Таким образом, разложение 5184 на простые множители: \( 5184 = 2^6 \times 3^4 \).

Теперь разложим знаменатель 5472:

— 5472 делим на 2: \( 5472 \div 2 = 2736 \)
— 2736 делим на 2: \( 2736 \div 2 = 1368 \)
— 1368 делим на 2: \( 1368 \div 2 = 684 \)
— 684 делим на 2: \( 684 \div 2 = 342 \)
— 342 делим на 2: \( 342 \div 2 = 171 \)
— 171 делим на 3: \( 171 \div 3 = 57 \)
— 57 делим на 3: \( 57 \div 3 = 19 \)
— 19 — простое число.

Таким образом, разложение 5472 на простые множители: \( 5472 = 2^5 \times 3^5 \).

Теперь найдем НОД. Общие множители:
— \( 2^5 \times 3^4 \).

Следовательно,
\[
\text{НОД}(5184, 5472) = 2^5 \times 3^4 = 432.
\]

Сократим дробь:
\[
\frac{5184 \div 432}{5472 \div 432} = \frac{12}{13}.
\]

3. дробь \( \frac{4140}{9315} \)

Начнем с разложения числителя 4140 на простые множители:

— 4140 делим на 2: \( 4140 \div 2 = 2070 \)
— 2070 делим на 2: \( 2070 \div 2 = 1035 \)
— 1035 делим на 3: \( 1035 \div 3 = 345 \)
— 345 делим на 3: \( 345 \div 3 = 115 \)
— 115 делим на 5: \( 115 \div 5 = 23 \)
— 23 — простое число.

Таким образом, разложение 4140 на простые множители: \( 4140 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 23 \).

Теперь разложим знаменатель 9315:

— 9315 делим на 3: \( 9315 \div 3 = 3105 \)
— 3105 делим на 3: \( 3105 \div 3 = 1035 \)
— 1035 делим на 3: \( 1035 \div 3 = 345 \)
— 345 делим на 3: \( 345 \div 3 = 115 \)
— 115 делим на 5: \( 115 \div 5 = 23 \)
— 23 — простое число.

Таким образом, разложение 9315 на простые множители: \( 9315 = 3^4 \times 5 \times 23 \).

Теперь найдем НОД. Общие множители:
— \( 3 \) и \( 5 \).

Следовательно,
\[
\text{НОД}(4140, 9315) = 15.
\]

Сократим дробь:
\[
\frac{4140 \div 15}{9315 \div 15} = \frac{276}{621}.
\]

Результаты:

— \( \frac{360}{945} = \frac{8}{21} \)
— \( \frac{624}{768} = \frac{13}{16} \)
— \( \frac{3950}{350} = \frac{79}{7} \)
— \( \frac{1260}{1980} = \frac{7}{11} \)
— \( \frac{5184}{5472} = \frac{12}{13} \)
— \( \frac{4140}{9315} = \frac{276}{621} \)

Таким образом, все дроби сократимы.