Учебник математики для 6-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 105 Петерсон — Подробные Ответы
1) При делении натурального числа на 8 остаток может быть только от 0 до 7. Поэтому остаток 9 при делении на 8 получить невозможно. Это связано с тем, что остаток всегда меньше делителя.
2) Если при делении некоторого натурального числа на 7 получилось частное 4 и остаток 3, то можно использовать формулу:
\[ n = 7 \cdot \text{частное} + \text{остаток} \]
Подставим значения:
\[ n = 7 \cdot 4 + 3 = 28 + 3 = 31 \]
Таким образом, искомое число — 31.
3) Общий вид числа, которое при делении на 4 дает остаток 3, можно записать как:
\[ n = 4k + 3 \]
где \( k \) — целое неотрицательное число (k ∈ N). Теперь найдем значение этого выражения при \( k = 0, 2, 5, 9, 16 \):
— При \( k = 0: n = 4 \cdot 0 + 3 = 3 \)
— При \( k = 2: n = 4 \cdot 2 + 3 = 8 + 3 = 11 \)
— При \( k = 5: n = 4 \cdot 5 + 3 = 20 + 3 = 23 \)
— При \( k = 9: n = 4 \cdot 9 + 3 = 36 + 3 = 39 \)
— При \( k = 16: n = 4 \cdot 16 + 3 = 64 + 3 = 67 \)
Проверим:
— \( 3 : 4 = 0\) (остаток 3)
— \( 11 : 4 = 2\) (остаток 3)
— \( 23 : 4 = 5\) (остаток 3)
— \( 39 : 4 = 9\) (остаток 3)
— \( 67 : 4 = 16\) (остаток 3)
Все вычисления подтверждают, что остаток равен 3.
4) Теперь вычислим и проверим:
— \(24 : 5 = 4\) (остаток \(4\))
— \(45 : 8 = 5\) (остаток \(5\))
— \(140 : 40 = 3\) (остаток \(20\))
— \(1900 : 30 = 63\) (остаток \(10\))
— \(58000 : 700 = 82\) (остаток \(600\))
— \(15 : 6 = 2\) (остаток \(3\))
— \(64 : 9 = 7\) (остаток \(1\))
— \(560 : 60 = 9\) (остаток \(20\))
— \(2800 : 90 = 31\) (остаток \(10\))
— \(26000 : 5000 = 5\) (остаток \(0\))
Что мы замечаем? Остатки могут варьироваться в зависимости от делимого и делителя. В некоторых случаях остаток значительно меньше делителя, в других — может быть близким к нему.
1) При делении натурального числа на 8 остаток может быть только от 0 до 7. Это связано с тем, что остаток всегда меньше делителя. Например, если мы делим 17 на 8, то 17 = 8 * 2 + 1, где 1 — это остаток. Таким образом, остаток 9 при делении на 8 получить невозможно.
2) Если при делении некоторого натурального числа на 7 получилось частное 4 и остаток 3, то можно использовать формулу для нахождения делимого. Формула выглядит следующим образом: n = делитель * частное + остаток. В данном случае делитель равен 7, частное равно 4, а остаток равен 3. Подставим значения в формулу: n = 7 * 4 + 3. Это будет равно 28 + 3, что дает в итоге 31. Таким образом, искомое число — это 31.
3) Общий вид числа, которое при делении на 4 дает остаток 3, можно записать как n = 4k + 3, где k — это целое неотрицательное число (k принадлежит множеству натуральных чисел). Теперь найдем значение этого выражения при различных значениях k:
— При k = 0: n = 4 * 0 + 3 = 3.
— При k = 2: n = 4 * 2 + 3 = 8 + 3 = 11.
— При k = 5: n = 4 * 5 + 3 = 20 + 3 = 23.
— При k = 9: n = 4 * 9 + 3 = 36 + 3 = 39.
— При k = 16: n = 4 * 16 + 3 = 64 + 3 = 67.
Теперь проверим, что каждое из полученных чисел действительно дает остаток 3 при делении на 4:
— Для числа 3: 3 делим на 4, получаем частное 0 и остаток 3.
— Для числа 11: 11 делим на 4, получаем частное 2 и остаток 3.
— Для числа 23: 23 делим на 4, получаем частное 5 и остаток 3.
— Для числа 39: 39 делим на 4, получаем частное 9 и остаток 3.
— Для числа 67: 67 делим на 4, получаем частное 16 и остаток 3.
Таким образом, все вычисления подтверждают, что числа действительно дают остаток 3 при делении на 4.
4) Теперь перейдем к вычислениям и проверкам для представленных делений:
— Для выражения 24 : 5. Частное равно 4, остаток равен 4 (24 = 5 * 4 + 4).
— Для выражения 45 : 8. Частное равно 5, остаток равен 5 (45 = 8 * 5 + 5).
— Для выражения 140 : 40. Частное равно 3, остаток равен 20 (140 = 40 * 3 + 20).
— Для выражения 1900 : 30. Частное равно 63, остаток равен 10 (1900 = 30 * 63 + 10).
— Для выражения 58000 : 700. Частное равно 82, остаток равен 600 (58000 = 700 * 82 + 600).
Теперь для второй группы:
— Для выражения 15 : 6. Частное равно 2, остаток равен 3 (15 = 6 * 2 + 3).
— Для выражения 64 : 9. Частное равно 7, остаток равен 1 (64 = 9 * 7 +1).
— Для выражения 560 : 60. Частное равно 9, остаток равен 20 (560 =60 *9 +20).
— Для выражения 2800 :90. Частное равно31, остаток равен10 (2800 =90*31+10).
— Для выражения26000 :5000. Частное равно5, остаток равен0 (26000=5000*5+0).
При проверках можно заметить, что во всех случаях мы можем выразить число в виде произведения делителя и частного плюс остаток.
Математика
