Учебник математики для 6-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 110 Петерсон — Подробные Ответы
1) Определяемое понятие: упорядоченная пара чисел.
2) Найдем методом перебора все пары (x; y) натуральных чисел, удовлетворяющие данным уравнениям и неравенствам:
а) \( x + 2y = 9 \)
Пары (x; y):
— (1; 4)
— (3; 3)
— (5; 2)
— (7; 1)
б) \( x + y^2 = 9 \)
Пары (x; y):
— (8; 1)
— (5; 2)
— (0; 3) (не натуральное число)
в) \( 0 < x(10 — 3y) < 2 \)
Здесь \( x \) и \( y \) должны быть натуральными числами. Поскольку \( x \) должно быть положительным, пробуем:
— Если \( x = 1 \):
— \( 10 — 3y > 0 \) → \( y < \frac{10}{3} \) → \( y = 1, 2, 3 \)
Пары (x; y):
— (1; 1)
— (1; 2)
г) \( 0 < x(10 — y^3) < 2 \)
Аналогично:
— Если \( x = 1 \):
— \( 10 — y^3 > 0 \) → \( y^3 < 10 \) → \( y = 1, 2 \)
Пары (x; y):
— (1; 1)
— (1; 2)
д) \( 15 < 2x + 3y < 16 \)
Пробуем различные значения:
— Если \( x = 8 \): \( 2(8) + 3y > 15 \) → \( 16 + 3y > 15 \) → \( y > -\frac{1}{3} \) (все натуральные числа подходят, но проверяем верхнюю границу)
— Если \( x = 7 \): \( 14 + 3y > 15 \) → \( y > \frac{1}{3} \), и \( 14 + 3y < 16 \) → \( y < \frac{2}{3} \) (не подходит)
Таким образом, пары не найдены.
е) \( 15 < x^2 + y^3 < 16 \)
Пробуем:
— Если \( x = 4 \): \( x^2 = 16 \), тогда \( y^3 < 0 \) (не подходит)
— Если \( x = 3 \): \( x^2 = 9 \), тогда \( y^3 > 6 \) и \( y^3 < 7 \) → \( y = 2\)
Пара (x; y):
— (3; 2)
Таким образом, итоговые результаты:
а) (1;4), (3;3), (5;2), (7;1)
б) (8;1), (5;2)
в) (1;1), (1;2)
г) (1;1), (1;2)
д) пары не найдены
е) (3;2)
1) Определяемое понятие: упорядоченная пара чисел.
2) Найдем методом перебора все пары (x; y) натуральных чисел, удовлетворяющие данным уравнениям и неравенствам:
а) x + 2y = 9
Для поиска натуральных чисел x и y, мы можем перебрать значения y от 1 до 4 (поскольку 2y не может превышать 9):
— Если y = 1, то x + 2(1) = 9 → x + 2 = 9 → x = 7. Пара: (7; 1).
— Если y = 2, то x + 2(2) = 9 → x + 4 = 9 → x = 5. Пара: (5; 2).
— Если y = 3, то x + 2(3) = 9 → x + 6 = 9 → x = 3. Пара: (3; 3).
— Если y = 4, то x + 2(4) = 9 → x + 8 = 9 → x = 1. Пара: (1; 4).
Таким образом, пары (x; y): (7; 1), (5; 2), (3; 3), (1; 4).
б) x + y^2 = 9
Здесь мы можем перебрать значения y от 1 до 3 (поскольку y^2 не может превышать 9):
— Если y = 1, то x + (1)^2 = 9 → x + 1 = 9 → x = 8. Пара: (8; 1).
— Если y = 2, то x + (2)^2 = 9 → x + 4 = 9 → x = 5. Пара: (5; 2).
— Если y = 3, то x + (3)^2 = 9 → x + 9 = 9 → x = 0 (не натуральное число).
Таким образом, пары (x; y): (8; 1), (5; 2).
в) 0 < x(10 — 3y) < 2
Для этого неравенства, мы можем рассмотреть значения x и y:
— Если x = 1, то неравенство становится: 0 < (10 — 3y) < 2.
Решим это неравенство:
10 — 3y > 0 → y < \(\frac{10}{3}\) ≈ 3.33. Значит, y может принимать значения 1, 2 или 3.
— Если y = 1, то x(10 — 3(1)) = x(7) > 0. Пара: (1; 1).
— Если y = 2, то x(10 — 3(2)) = x(4) > 0. Пара: (1; 2).
— Если y = 3, то x(10 — 3(3)) = x(1) > 0. Пара: (1; 3).
Таким образом, пары (x; y): (1; 1), (1; 2), (1; 3).
г) 0 < x(10 — y^3) < 2
Аналогично:
— Если x = 1, то неравенство становится: 0 < (10 — y^3) < 2.
Решим это неравенство:
10 — y^3 > 0 → y^3 < 10 → y < \(\sqrt[3]{10}\) ≈ 2.15. Значит, y может принимать значения только 1 или 2.
— Если y = 1, то x(10 — (1)^3) > 0. Пара: (1; 1).
— Если y = 2, то x(10 — (2)^3) > 0. Пара: (1; 2).
Таким образом, пары (x; y): (1; 1), (1; 2).
д) 15 < 2x + 3y < 16
Пробуем различные значения:
— Если x = 8, то:
2(8) + 3y > 15 →16 + 3y >15 → y > -\(\frac{1}{3}\) (все натуральные числа подходят).
2(8) + 3y <16 →16 +3y <16 →y <0 (нет натуральных чисел).
— Если x =7:
14 +3y >15 →y >\(\frac{1}{3}\).
14 +3y <16 →y <\(\frac{2}{3}\).
Нет натуральных чисел.
— Если x =6:
12 +3y >15 →y >1.
12 +3y <16 →y <\(\frac{4}{3}\).
Таким образом, y=2. Пара: (6;2).
— Если x=5:
10 +3y >15 →y >\(\frac{5}{3}\).
10 +3y <16 →y<\(\frac{6}{3}\).
Таким образом, y=2. Пара: (5;2).
— Если x=4:
8 +3y >15 →y >\(\frac{7}{3}\).
8 +3y <16 →y<\(\frac{8}{3}\).
Нет натуральных чисел.
— Если x=3:
6 +3y >15 →y >3.
6 +3y <16 →y<\(\frac{10}{3}\).
Таким образом, y=4. Пара: (3;4).
— Если x=2:
4 +3y >15 →y >\(\frac{11}{3}\).
4 +3y <16 →y<\(\frac{12}{3}\).
Нет натуральных чисел.
— Если x=1:
2 +3y >15 →y >\(\frac{13}{3}\).
2 +3y <16 →y<\(\frac{14}{3}\).
Нет натуральных чисел.
Таким образом, пары (x; y): (6;2), (5;2), и (3;4).
е) 15 < x^2 + y^3 <16
Пробуем различные значения:
— Если x=4:
16+y^3>15→у^3>−1.
16+y^3<16→у^3<0.
Нет натуральных чисел.
— Если x=3:
9+y^3>15→у^3>6.
9+y^3<16→у^3<7.
Таким образом, у=2. Пара: (3;2).
— Если x=2:
4
Математика
