ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 216 Петерсон — Подробные Ответы

1) Чтобы решить первую задачу, найдем скорость заполнения бассейна каждой трубы.

— Первая труба заполняет бассейн за 10 часов, значит её скорость: \( \frac{1}{10} \) бассейна в час.
— Вторая труба заполняет бассейн за 15 часов, значит её скорость: \( \frac{1}{15} \) бассейна в час.
— Пусть третья труба заполняет бассейн за \( x \) часов, тогда её скорость: \( \frac{1}{x} \) бассейна в час.

Когда все три трубы работают вместе, их общая скорость заполнения будет равна:

\[
\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{x} = \frac{1}{4}
\]

Теперь найдем общий знаменатель для первых двух дробей:

\[
\frac{3}{30} + \frac{2}{30} + \frac{1}{x} = \frac{1}{4}
\]
\[
\frac{5}{30} + \frac{1}{x} = \frac{1}{4}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{4} — \frac{1}{6}
\]

Приведем к общему знаменателю 12:

\[
\frac{1}{4} = \frac{3}{12}, \quad \frac{1}{6} = \frac{2}{12}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{3}{12} — \frac{2}{12} = \frac{1}{12}
\]

Следовательно, \( x = 12 \). Третья труба может наполнить бассейн за 12 часов.

2) Для второй задачи найдем производительность экскаваторов.

Пусть производительность первого экскаватора равна \( A \), тогда он вырывает котлован за 36 дней, значит:

\[
A = \frac{1}{36}
\]

Производительность второго экскаватора пусть будет \( B \). Работая вместе, они могут вырыть котлован за 20 дней, значит:

\[
A + B = \frac{1}{20}
\]

Теперь подставим значение \( A \):

\[
\frac{1}{36} + B = \frac{1}{20}
\]

Найдем \( B \):

Приведем дроби к общему знаменателю (например, 180):

\[
\frac{5}{180} + B = \frac{9}{180}
\]
\[
B = \frac{9}{180} — \frac{5}{180} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45}
\]

Теперь мы знаем, что второй экскаватор вырывает котлован за 45 дней.

Первый экскаватор работал 24 дня, значит он вырыл:

\[
24 \cdot A = 24 \cdot \frac{1}{36} = \frac{2}{3}
\]

Осталось вырыть \( 1 — \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \) котлована. Второй экскаватор будет работать над оставшейся частью:

Время, необходимое второму экскаватору, чтобы вырыть оставшуюся часть:

\[
t = \text{осталось} / B = \frac{1/3}{1/45} = \frac{45}{3} = 15
\]

Таким образом, общее время выполнения задания:

\[
24 + 15 = 39
\]

Ответ: задание было выполнено за 39 дней.

Чтобы решить первую задачу, начнем с определения скорости заполнения бассейна каждой трубы.

1. Первая труба заполняет бассейн за 10 часов. Значит, её скорость заполнения равна 1/10 бассейна в час.
2. Вторая труба заполняет бассейн за 15 часов. Значит, её скорость заполнения равна 1/15 бассейна в час.
3. Пусть третья труба заполняет бассейн за x часов. Тогда её скорость заполнения будет равна 1/x бассейна в час.

Когда все три трубы работают вместе, их общая скорость заполнения будет равна:

1/10 + 1/15 + 1/x = 1/4

Теперь найдем общий знаменатель для первых двух дробей (10 и 15). Общий знаменатель равен 30. Преобразуем дроби:

1/10 = 3/30
1/15 = 2/30

Теперь подставим эти значения в уравнение:

3/30 + 2/30 + 1/x = 1/4

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

(3 + 2)/30 + 1/x = 1/4

Это упрощается до:

5/30 + 1/x = 1/4

Теперь упростим 5/30:

5/30 = 1/6

Таким образом, у нас получается:

1/6 + 1/x = 1/4

Теперь вычтем 1/6 из обеих сторон уравнения. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 12:

1/4 = 3/12
1/6 = 2/12

Теперь у нас есть:

1/x = 3/12 — 2/12

Это упрощается до:

1/x = 1/12

Теперь, чтобы найти x, мы просто берем обратное значение:

x = 12

Таким образом, третья труба может наполнить пустой бассейн за 12 часов.

Теперь перейдем ко второй задаче.

Два экскаватора работают вместе и могут выполнить задание за 20 дней. Это значит, что их совместная производительность составляет 1/20 котлована в день.

Пусть первый экскаватор может вырыть котлован за 36 дней, тогда его производительность составляет 1/36 котлована в день. Обозначим производительность второго экскаватора как 1/y котлована в день.

Теперь можем записать следующее уравнение для их совместной работы:

1/36 + 1/y = 1/20

Теперь решим это уравнение. Сначала найдем общий знаменатель для дробей:

Общий знаменатель для 36 и y будет равен 36y. Умножим каждую дробь на этот общий знаменатель:

y + 36 = (36y)/20

Упростим правую часть уравнения:

y + 36 = (9y)/5

Теперь умножим всё на 5, чтобы избавиться от дроби:

5y + 180 = 9y

Теперь перенесем все y на одну сторону уравнения:

180 = 9y — 5y
180 = 4y
y = 45

Таким образом, второй экскаватор может вырыть котлован за 45 дней.

Теперь вернемся к расчету времени выполнения задания. Первый экскаватор работал в течение первых 24 дней. Его производительность составляет 1/36 котлована в день, следовательно, за 24 дня он вырыл:

24 * (1/36) = 24/36 = 2/3 котлована.

Осталось вырыть:

1 — 2/3 = 1/3 котлована.

Теперь второй экскаватор, который может вырыть котлован за 45 дней, имеет производительность:

1/45 котлована в день.

Чтобы узнать, сколько времени ему потребуется для завершения оставшейся части работы (1/3 котлована), используем формулу:

время = работа / производительность.

Таким образом, время, необходимое второму экскаватору для завершения работы:

время = (1/3) / (1/45) = (1/3) * (45) = 15 дней.

Итак, общее время выполнения задания составит:

24 дня (работал первый экскаватор) + 15 дней (работал второй экскаватор) = 39 дней.

Ответ: задание было выполнено за 39 дней.