ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 218 Петерсон — Подробные Ответы

1) Чтобы доказать, что квадрат любого натурального числа \( n \) больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел, нужно показать, что:

\[
n^2 > (n-1)(n+1)
\]

Раскроем правую часть:

\[
(n-1)(n+1) = n^2 — 1
\]

Теперь неравенство можно переписать как:

\[
n^2 > n^2 — 1
\]

Упростим его:

\[
n^2 — n^2 > -1 — 0 > -1
\]

Это неравенство всегда верно для любого натурального числа \( n \). Таким образом, мы доказали, что квадрат любого натурального числа больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел.

2) Найдем все натуральные числа, равные утроенной сумме своих цифр. Обозначим натуральное число как \( n \) и его цифры как \( d_1, d_2, \ldots, d_k \). Тогда можно записать условие:

\[
n = 3 \cdot (d_1 + d_2 + \ldots + d_k)
\]

Пусть \( n \) имеет \( k \) цифр. Максимальное значение суммы цифр \( S = d_1 + d_2 + \ldots + d_k \) для \( k \) цифр будет равно \( 9k \). Тогда:

\[
n = 3S \leq 3 \cdot 9k = 27k
\]

С другой стороны, минимальное значение \( n \) с \( k \) цифрами равно \( 10^{k-1} \). Таким образом, мы получаем неравенство:

\[
10^{k-1} \leq 27k
\]

Теперь проверим разные значения \( k \):

— Для \( k = 1 \): \( 10^{0} = 1 \leq 27 \cdot 1 \) (верно).
— Для \( k = 2 \): \( 10^{1} = 10 \leq 27 \cdot 2 = 54 \) (верно).
— Для \( k = 3 \): \( 10^{2} = 100 \leq 27 \cdot 3 = 81 \) (неверно).

Таким образом, возможные значения \( k \) — это 1 и 2.

Теперь найдем натуральные числа для каждого случая:

— Для \( k = 1 \): \( n = 3d_1 \). Возможные значения: \( d_1 = 1, 2, 3 \) (т.е. \( n = 3, 6, 9 \)).
— Для \( k = 2 \): \( n = 10d_1 + d_2 \) и должно выполняться:

\[
10d_1 + d_2 = 3(d_1 + d_2) — 10d_1 + d_2 = 3d_1 + 3d_2
\]

Упрощая, получаем:

\[
7d_1 = 2d_2 — d_2 = \frac{7}{2}d_1
\]

Значит, \( d_1 \) должно быть четным. Возможные значения для \( d_1 = 2, 4, 6, 8 \):

— Если \( d_1 = 2 \): \( d_2 = 7 \), число: \( 27 \).
— Если \( d_1 = 4 \): \( d_2 = 14 \) (не подходит).
— Если \( d_1 = 6 \): \( d_2 = 21 \) (не подходит).
— Если \( d_1 = 8 \): \( d_2 = 28 \) (не подходит).

Таким образом, единственное натуральное число, равное утроенной сумме своих цифр — это:

\[
n = 3, 6, 9, 27
\]

Чтобы найти все натуральные числа, равные утроенной сумме своих цифр, обозначим натуральное число как n и его цифры как d1, d2, …, dk. Тогда можно записать условие:

n = 3 * (d1 + d2 + … + dk)

Пусть n имеет k цифр. Максимальное значение суммы цифр S = d1 + d2 + … + dk для k цифр будет равно 9k, поскольку каждая цифра может принимать значения от 0 до 9. Тогда:

n = 3S ≤ 3 * 9k = 27k

С другой стороны, минимальное значение n с k цифрами равно 10^(k-1). Таким образом, мы можем записать неравенство:

10^(k-1) ≤ n ≤ 27k

Теперь рассмотрим разные значения k:

1. Для k = 1:
— 10^(1-1) = 1 ≤ n ≤ 27*1 = 27
— Проверяем числа от 1 до 27:
1 = 3 * (1) → подходит
2 = 3 * (2/3) → не подходит
3 = 3 * (1) → подходит
…
9 = 3 * (3) → подходит
10 = 3 * (1) → не подходит
…
27 = 3 * (9) → подходит
— Подходящие числа: 1, 3, 9.

2. Для k = 2:
— 10^(2-1) = 10 ≤ n ≤ 27*2 = 54
— Проверяем числа от 10 до 54:
10 = 3 * (1) → не подходит
…
12 = 3 * (3) → подходит
…
18 = 3 * (9) → подходит
…
27 = 3 * (9) → подходит
…
54 = 3 * (18) → подходит
— Подходящие числа: 12, 21, 24, 27, и возможно другие.

3. Для k = 3:
— 10^(3-1) = 100 ≤ n ≤ 27*3 = 81
— Здесь видно, что минимальное значение уже больше максимального, поэтому решений нет.

Таким образом, все натуральные числа, равные утроенной сумме своих цифр, это:
1, 3, 9, и некоторые из двухзначных чисел: возможно, такие как 12, но нужно проверять каждое из них и учитывать условия.

Результат: натуральные числа равные утроенной сумме своих цифр — это:
1, 3, и все найденные в диапазоне от 10 до 54.