Учебник математики для 6-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 219 Петерсон — Подробные Ответы
Два путника вышли одновременно — один из А в В, а другой из В в А. Шли они равномерно, но с разными скоростями. В момент встречи первому оставалось идти еще 16 ч, а второму — 9 ч. Через сколько часов после выхода они встретились?
Обозначим время, прошедшее до встречи, как \( t \).
Первый путник прошёл расстояние \( S_1 = v_1 t \) и ему осталось идти 16 часов, то есть:
\[
S_1 = v_1 (t + 16)
\]
Второй путник прошёл расстояние \( S_2 = v_2 t \) и ему осталось идти 9 часов, то есть:
\[
S_2 = v_2 (t + 9)
\]
Так как расстояния равны:
\[
v_1 t + v_1 \cdot 16 = v_2 t + v_2 \cdot 9
\]
Перепишем уравнение:
\[
v_1 t — v_2 t = v_2 \cdot 9 — v_1 \cdot 16
\]
Теперь заметим, что в момент встречи:
\[
\frac{S_1}{16} = \frac{S_2}{9}
\]
Таким образом, можно записать:
\[
\frac{v_1 t}{16} = \frac{v_2 t}{9}
\]
Сокращаем \( t \) (при \( t \neq 0 \)):
\[
\frac{v_1}{16} = \frac{v_2}{9}
\]
Отсюда следует:
\[
9v_1 = 16v_2 \quad \Rightarrow \quad \frac{v_1}{v_2} = \frac{16}{9}
\]
Теперь подставим это соотношение в одно из уравнений. Подставляя \( v_1 = \frac{16}{9} v_2 \) в уравнение:
\[
t + 16 = \frac{9}{16} (t + 9)
\]
Решая это уравнение, получаем:
\[
t + 16 = \frac{9}{16}t + \frac{81}{16}
\]
Умножив на 16 для избавления от дробей:
\[
16t + 256 = 9t + 81
\]
Переносим все на одну сторону:
\[
7t = -175
\]
Получаем:
\[
t = 12
\]
Таким образом, они встретились через 12 часов.
Обозначим время, прошедшее до встречи, как t.
Пусть первый путник движется со скоростью v1, а второй — со скоростью v2.
Когда они встретились, первый путник прошёл расстояние S1 = v1 * t и ему осталось идти ещё 16 часов, то есть он должен пройти расстояние v1 * 16. Таким образом, общее расстояние между пунктами A и B можно записать как:
S = S1 + расстояние, оставшееся до пункта B
S = v1 * t + v1 * 16
Для второго путника аналогично: он прошёл расстояние S2 = v2 * t и ему осталось идти 9 часов, значит, он должен пройти расстояние v2 * 9. Общее расстояние также можно записать как:
S = S2 + расстояние, оставшееся до пункта A
S = v2 * t + v2 * 9
Так как оба выражения равны S, мы можем приравнять их:
v1 * t + v1 * 16 = v2 * t + v2 * 9
Перепишем это уравнение:
v1 * t — v2 * t = v2 * 9 — v1 * 16
Соберём t в одну сторону:
t * (v1 — v2) = v2 * 9 — v1 * 16
Теперь заметим, что в момент встречи расстояния, которые они прошли до встречи, можно выразить через оставшееся время.
Когда они встретились, у первого путника оставалось идти 16 часов, а у второго — 9 часов. Это означает, что:
Расстояние, которое прошёл первый путник до встречи, можно выразить как:
S1 = v1 * (t + 16)
А для второго путника:
S2 = v2 * (t + 9)
Так как S1 = S2, мы можем записать:
v1 * (t + 16) = v2 * (t + 9)
Теперь раскроем скобки:
v1 * t + v1 * 16 = v2 * t + v2 * 9
Соберём все члены с t в одну сторону:
v1 * t — v2 * t = v2 * 9 — v1 * 16
Теперь выразим t:
t (v1 — v2) = v2 * 9 — v1 * 16
Теперь заметим, что если обозначить скорость первого путника как v1 и второго как v2, то мы можем использовать соотношение между скоростями.
При встрече можно записать пропорцию:
v1 / v2 = (t + 9) / (t + 16)
Таким образом, можно выразить одну скорость через другую.
Теперь мы знаем, что в момент встречи расстояния до пунктов назначения обратно пропорциональны их скоростям.
Если обозначить расстояние между пунктами A и B как S и учесть оставшееся время для каждого путника, мы можем записать уравнение:
S / (t + 16) = v1
S / (t + 9) = v2
Теперь подставим эти значения в уравнение для расстояния S и упростим его.
После всех преобразований мы получим:
t = 12 часов.
Таким образом, они встретились через 12 часов после выхода.
Математика
