Учебник математики для 6-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 296 Петерсон — Подробные Ответы
1) Пусть расстояние между Иваново и Москвой равно \( y \). Тогда:
— Время в пути «туда»: \( t_1 = \frac{y}{50} \).
— Время в пути «обратно»: \( t_2 = \frac{y}{40} \).
Общее время: \( t = t_1 + t_2 = \frac{y}{50} + \frac{y}{40} = \frac{9y}{200} \).
Общее расстояние: \( 2y \).
Средняя скорость на всем маршруте:
\[
v_{\text{ср}} = \frac{\text{Общее расстояние}}{\text{Общее время}} = \frac{2y}{\frac{9y}{200}} = \frac{400}{9} \approx 44,44 \, \text{км/ч}.
\]
Среднее арифметическое скоростей:
\[
v_{\text{арф}} = \frac{50 + 40}{2} = 45 \, \text{км/ч}.
\]
Сравнение: \( v_{\text{ср}} < v_{\text{арф}} \).
2) Для скоростей \( v_1 \) и \( v_2 \):
— Время «туда»: \( t_1 = \frac{y}{v_1} \).
— Время «обратно»: \( t_2 = \frac{y}{v_2} \).
Общее время: \( t = \frac{y}{v_1} + \frac{y}{v_2} = y \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) \).
Средняя скорость:
\[
v_{\text{ср}} = \frac{2y}{t} = \frac{2y}{y \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}.
\]
Среднее гармоническое \( n \)-чисел \( a_1, a_2, \dots, a_n \):
\[
H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}}.
\]
3) Проверим для других чисел:
— \( v_1 = 60, v_2 = 30 \):
Среднее гармоническое: \( H = \frac{2 \cdot 60 \cdot 30}{60 + 30} = 40 \).
Среднее арифметическое: \( A = \frac{60 + 30}{2} = 45 \).
\( H < A \).
— \( v_1 = 100, v_2 = 50 \):
\( H = \frac{2 \cdot 100 \cdot 50}{100 + 50} = 66,67 \).
\( A = \frac{100 + 50}{2} = 75 \).
\( H < A \).
Общий вывод: среднее гармоническое всегда меньше среднего арифметического (или равно, если числа равны). Это следует из неравенства между средними, так как гармоническое учитывает обратные величины и «сглаживает» различия между числами.
1) Пусть расстояние между Иваново и Москвой равно y километров. Тогда:
— Время в пути «туда» равно t₁ = y / 50.
— Время в пути «обратно» равно t₂ = y / 40.
Общее время пути составляет:
t = t₁ + t₂ = y / 50 + y / 40.
Приведем к общему знаменателю:
t = y (1 / 50 + 1 / 40) = y (4 / 200 + 5 / 200) = y (9 / 200) = 9y / 200.
Общее расстояние на маршруте туда и обратно равно 2y.
Средняя скорость на всем маршруте рассчитывается как общее расстояние, деленное на общее время:
vₛ = 2y / t = 2y / (9y / 200) = (2y * 200) / 9y = 400 / 9 ≈ 44,44 км/ч.
Теперь найдем среднее арифметическое скоростей:
vₐ = (50 + 40) / 2 = 90 / 2 = 45 км/ч.
Сравним результаты:
Средняя скорость на всем маршруте vₛ ≈ 44,44 км/ч меньше среднего арифметического скоростей vₐ = 45 км/ч.
2) Теперь решим задачу для скоростей v₁ и v₂.
— Время в пути «туда» равно t₁ = y / v₁.
— Время в пути «обратно» равно t₂ = y / v₂.
Общее время пути:
t = t₁ + t₂ = y / v₁ + y / v₂.
Приведем к общему знаменателю:
t = y (1 / v₁ + 1 / v₂) = y (v₂ / (v₁v₂) + v₁ / (v₁v₂)) = y ((v₁ + v₂) / (v₁v₂)) = y (v₁ + v₂) / (v₁v₂).
Общее расстояние на маршруте туда и обратно равно 2y.
Средняя скорость на всем маршруте:
vₛ = 2y / t = 2y / (y (v₁ + v₂) / (v₁v₂)) = (2y * v₁v₂) / (y (v₁ + v₂)) = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂).
Это выражение называют средним гармоническим чисел v₁ и v₂.
Среднее гармоническое трех чисел a₁, a₂ и a₃ определяется как:
H = 3 / (1 / a₁ + 1 / a₂ + 1 / a₃).
Среднее гармоническое четырех чисел a₁, a₂, a₃ и a₄ определяется как:
H = 4 / (1 / a₁ + 1 / a₂ + 1 / a₃ + 1 / a₄).
Общее определение среднего гармонического n чисел a₁, a₂, …, aₙ:
H = n / (1 / a₁ + 1 / a₂ + … + 1 / aₙ).
3) Проверим, всегда ли среднее гармоническое меньше среднего арифметического.
Возьмем числа v₁ = 60 и v₂ = 30.
Среднее гармоническое:
H = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) = 2 * 60 * 30 / (60 + 30) = 3600 / 90 = 40.
Среднее арифметическое:
A = (v₁ + v₂) / 2 = (60 + 30) / 2 = 90 / 2 = 45.
Здесь H < A.
Возьмем числа v₁ = 100 и v₂ = 50.
Среднее гармоническое:
H = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) = 2 * 100 * 50 / (100 + 50) = 10000 / 150 ≈ 66,67.
Среднее арифметическое:
A = (v₁ + v₂) / 2 = (100 + 50) / 2 = 150 / 2 = 75.
Здесь также H < A.
Общий вывод: среднее гармоническое всегда меньше или равно среднему арифметическому. Это связано с тем, что среднее гармоническое сильнее «наказывается» за большие различия между числами, так как учитывает обратные величины. Если все числа равны, их среднее гармоническое совпадает с их средним арифметическим.
Математика
