ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 399 Петерсон — Подробные Ответы

1) Существование чисел a и b, удовлетворяющих условию a² — 3b = 6.
Существуют натуральные числа, которые подходят под это равенство. Например, если взять a = 6 и b = 10, то:
6² — 3 · 10 = 36 — 30 = 6.
Таким образом, равенство выполняется.

2) Существование чисел x и y, для которых x ≠ y и xʸ = yˣ.
Можно найти два различных натуральных числа, которые удовлетворяют этому условию. Например, x = 2 и y = 4:
2⁴ = 16 и 4² = 16.
Следовательно, равенство выполняется.

3) Свойство деления произведений на одно и то же число.
Для любых натуральных чисел a, b и n выполняется следующее: если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то частное останется неизменным. Например:
a = 15, b = 30, n = 3.
Проверим:
(15 · 3) : (30 · 3) = (15 · 3) / (30 · 3) = 15 : 30.
Частное не изменилось, равенство верно.

4) Кратность суммы двух последовательных нечётных чисел числу 4.
Для любого натурального числа n сумма двух последовательных нечётных чисел всегда делится на 4. Проверим:
(2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4 = 4(n + 1).
Так как выражение 4(n + 1) делится на 4, утверждение истинно.

1) Существование чисел a и b, удовлетворяющих условию a² — 3b = 6.
Рассмотрим, существуют ли такие натуральные числа \(a\) и \(b\), чтобы выполнялось равенство \(a^2 — 3b = 6\). Проверим это на примере. Пусть \(a = 6\) и \(b = 10\). Подставим эти значения в выражение:
\[a^2 — 3b = 6^2 — 3 \cdot 10 = 36 — 30 = 6.\]
Мы видим, что равенство выполняется, а значит, такие натуральные числа действительно существуют. Таким образом, утверждение верно.

2) Существование чисел x и y, для которых x ≠ y и xʸ = yˣ.
Необходимо выяснить, существуют ли два различных натуральных числа \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют равенству \(x^y = y^x\). Попробуем найти пример таких чисел. Пусть \(x = 2\) и \(y = 4\). Тогда:
\[x^y = 2^4 = 16, \quad y^x = 4^2 = 16.\]
Таким образом, \(2^4 = 4^2\), и равенство выполняется. При этом \(x \neq y\), так как \(2 \neq 4\). Это доказывает, что такие числа действительно существуют.

3) Свойство деления произведений на одно и то же число.
Для любых натуральных чисел \(a\), \(b\) и \(n\) утверждается, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение частного останется неизменным. Проверим это на конкретном примере. Пусть \(a = 15\), \(b = 30\), \(n = 3\). Тогда:
\[(a \cdot n) : (b \cdot n) = (15 \cdot 3) : (30 \cdot 3).\]
Выполним умножение:
\[15 \cdot 3 = 45, \quad 30 \cdot 3 = 90.\]
Теперь разделим:
\[45 : 90 = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}.\]
С другой стороны, если разделить \(a\) на \(b\) без умножения на \(n\), то:
\[a : b = 15 : 30 = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}.\]
Мы видим, что результат в обоих случаях одинаковый, а значит, утверждение верно.

4) Кратность суммы двух последовательных нечётных чисел числу 4.
Необходимо доказать, что для любого натурального числа \(n\) сумма двух последовательных нечётных чисел всегда делится на 4. Рассмотрим два последовательных нечётных числа: \(2n + 1\) и \(2n + 3\). Их сумма будет равна:
\[(2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4.\]
Вынесем общий множитель 4 за скобки:
\[4n + 4 = 4(n + 1).\]
Мы видим, что сумма представлена в виде произведения числа 4 и выражения \(n + 1\). Это означает, что сумма всегда делится на 4, независимо от значения \(n\). Таким образом, утверждение доказано.