ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 196 Петерсон — Подробные Ответы

Сколько всего натуральных чисел, меньших 100, которые: а) делятся на 2, но не делятся на 3; б) делятся на 2 или на 3; в) не делятся ни на 2, ни на 3?

а) Натуральные числа, меньшие 100, делящиеся на 2: 2, 4, 6, …, 98. Это арифметическая прогрессия с первым членом 2 и последним 98. Количество членов: 49. Из них те, которые делятся на 3: 6, 12, …, 96. Это также арифметическая прогрессия с первым членом 6 и последним 96. Количество членов: 16. Значит, числа, которые делятся на 2, но не делятся на 3: 49 — 16 = 33.

б) Числа, делящиеся на 2: 49. Числа, делящиеся на 3: 33. Числа, делящиеся на 6 (и на 2, и на 3): 16. По формуле включения-исключения: 49 + 33 — 16 = 66.

в) Всего натуральных чисел меньше 100: 99. Числа, делящиеся на 2: 49. Числа, делящиеся на 3: 33. Числа, делящиеся на 6: 16. Числа, которые делятся либо на 2, либо на 3: 66. Значит, не делятся ни на 2, ни на 3: 99 — 66 = 33.

а) Чтобы найти натуральные числа, меньшие 100, которые делятся на 2, но не делятся на 3, сначала определим все натуральные числа меньше 100, которые делятся на 2. Это числа: 2, 4, 6, …, 98. Это арифметическая прогрессия с первым членом 2 и последним членом 98.

Чтобы найти количество членов этой прогрессии, используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии: a_n = a_1 + (n-1)d, где a_1 = 2, d = 2. Решаем уравнение:

98 = 2 + (n-1) * 2
96 = (n-1) * 2
48 = n — 1
n = 49.

Таким образом, всего 49 чисел, делящихся на 2.

Теперь найдем числа, которые делятся на 6 (так как числа, которые делятся и на 2, и на 3, делятся на 6). Это числа: 6, 12, 18, …, 96. Это также арифметическая прогрессия с первым членом 6 и последним членом 96.

Используем ту же формулу:

96 = 6 + (m-1) * 6
90 = (m-1) * 6
15 = m — 1
m = 16.

Таким образом, всего 16 чисел делятся на 6. Теперь вычтем количество чисел, которые делятся на 6, из количества чисел, которые делятся на 2:

49 — 16 = 33.

Итак, всего 33 натуральных числа меньше 100 делятся на 2, но не делятся на 3.

б) Теперь найдем количество натуральных чисел, меньших 100, которые делятся на 2 или на 3.

Как мы уже нашли, чисел, делящихся на 2: 49. Теперь найдем числа, которые делятся на 3: это числа: 3, 6, 9, …, 99. Это арифметическая прогрессия с первым членом 3 и последним членом 99.

Используем формулу:

99 = 3 + (k-1) * 3
96 = (k-1) * 3
32 = k — 1
k = 33.

Таким образом, всего 33 числа делятся на 3.

Теперь найдем количество чисел, которые делятся одновременно на 2 и на 3 (т.е. на 6), что мы уже нашли: это числа: 6, 12, …, 96. Всего их тоже 16.

Теперь применим формулу включения-исключения:

Количество чисел, делящихся на 2 или на 3 = Количество чисел, делящихся на 2 + Количество чисел, делящихся на 3 — Количество чисел, делящихся на 6.

49 + 33 — 16 = 66.

Таким образом, всего 66 натуральных чисел меньше 100 делятся на 2 или на 3.

в) Теперь найдем количество натуральных чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 3.

Всего натуральных чисел меньше 100: это числа от 1 до 99, всего их: 99.

Мы уже нашли количество чисел, которые делятся либо на 2, либо на 3: это число равно 66.

Теперь вычтем это количество из общего количества натуральных чисел:

99 — 66 = 33.

Таким образом, всего 33 натуральных числа меньше 100 не делятся ни на 2, ни на 3.