Учебник математики для 6-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 456 Петерсон — Подробные Ответы
В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону AВ в отношении 1 : 6, а точка N делит сторону CD в отношении 3 : 4, считая соответственно от вершин А и D. Известно, что AВ — 14 см, AD — 5 см. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD? Найди лишние данные в условии этой задачи.
Пусть A(0, 0), B(14, 0), C(14, 5), D(0, 5).
Точка M делит AB в отношении 1:6:
M = (2, 0).
Точка N делит CD в отношении 3:4:
N = (8, 5).
Найдем угловой коэффициент прямой MN:
k = (5 — 0) / (8 — 2) = 5/6.
Теперь уравнение прямой MN:
y — 0 = (5/6)(x — 2) → y = (5/6)x — 5/3.
Чтобы найти отношение площадей фигур, на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD, найдем точки пересечения прямой MN с сторонами AD и BC.
1. Пересечение с AD (x = 0):
y = (5/6)(0) — 5/3 = -5/3 (не пересекает, так как y < 0).
2. Пересечение с BC (x = 14):
y = (5/6)(14) — 5/3 = 70/6 — 10/6 = 60/6 = 10 (не пересекает, так как y > 5).
Таким образом, прямая MN не пересекает стороны AD и BC, деля прямоугольник ABCD на две области: верхнюю и нижнюю. Площадь прямоугольника ABCD равна 14 * 5 = 70 см².
Отношение площадей: верхняя площадь (площадь треугольника AMN) и нижняя площадь (площадь прямоугольника ABCD минус треугольник AMN).
Лишние данные: длина AD не нужна для нахождения отношения площадей, так как она не влияет на результат.
Пусть A(0, 0), B(14, 0), C(14, 5), D(0, 5) — координаты вершин прямоугольника ABCD.
Точка M делит сторону AB в отношении 1:6. Находим координаты точки M:
M = (x_M, y_M) = (2, 0), где x_M = (1 * 14 + 6 * 0) / (1 + 6) = 2 и y_M = (1 * 0 + 6 * 0) / (1 + 6) = 0.
Точка N делит сторону CD в отношении 3:4. Находим координаты точки N:
N = (x_N, y_N) = (8, 5), где x_N = (3 * 0 + 4 * 14) / (3 + 4) = 8 и y_N = (3 * 5 + 4 * 5) / (3 + 4) = 5.
Теперь у нас есть координаты точек M(2, 0) и N(8, 5). Найдем уравнение прямой MN. Для этого вычислим угловой коэффициент:
k = (y_N — y_M) / (x_N — x_M) = (5 — 0) / (8 — 2) = 5/6.
Теперь уравнение прямой MN в виде y — y_M = k(x — x_M):
y — 0 = (5/6)(x — 2).
Раскроем скобки:
y = (5/6)x — 5/3.
Теперь найдем точки пересечения прямой MN с границами прямоугольника ABCD. Рассмотрим пересечения с вертикальными линиями AD и BC.
1. Пересечение с AD (x = 0):
Подставим x = 0 в уравнение прямой:
y = (5/6)(0) — 5/3 = -5/3.
Эта точка не существует, так как значение y отрицательное.
2. Пересечение с BC (x = 14):
Подставим x = 14 в уравнение прямой:
y = (5/6)(14) — 5/3 = (70/6) — (10/6) = 60/6 = 10.
Эта точка также не существует, так как значение y больше высоты прямоугольника.
Таким образом, прямая MN не пересекает стороны AD и BC, а значит, делит прямоугольник ABCD на две области: верхнюю и нижнюю.
Теперь найдем площадь прямоугольника ABCD:
S_ABCD = AB * AD = 14 * 5 = 70 см².
Площадь треугольника AMN можно найти по формуле:
S_AMN = (1/2) * основание * высота. Основание MN равно расстоянию между M и N по оси x, то есть |x_N — x_M| = |8 — 2| = 6 см. Высота треугольника — это y-координата точки N, то есть y_N = 5 см.
S_AMN = (1/2) * 6 * 5 = 15 см².
Теперь найдем площади фигур:
Площадь верхней фигуры (треугольник AMN): S_AMN = 15 см².
Площадь нижней фигуры: S_нижняя = S_ABCD — S_AMN = 70 — 15 = 55 см².
Отношение площадей фигур:
Отношение = S_AMN : S_нижняя = 15 : 55 = 3 : 11.
Лишние данные в условии — это размеры сторон прямоугольника, так как для нахождения отношения площадей они не влияют на результат.
Математика
