Учебник математики для 6-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 3 Номер 24 Петерсон — Подробные Ответы
Для решения задачи сначала составим выражение для средней скорости парохода.
Обозначим:
— \( v \) — собственная скорость парохода (км/ч),
— \( c \) — скорость течения реки (2 км/ч).
Пароход плыл 5 часов по течению и 3 часа против течения.
1. **Скорость по течению**: \( v + c = v + 2 \)
2. **Скорость против течения**: \( v — c = v — 2 \)
Теперь найдем расстояние, пройденное пароходом в каждом направлении:
— Расстояние по течению: \( D_1 = (v + 2) \times 5 \)
— Расстояние против течения: \( D_2 = (v — 2) \times 3 \)
Так как расстояния равны, можем записать уравнение:
\[
(v + 2) \times 5 = (v — 2) \times 3
\]
Раскроем скобки:
\[
5v + 10 = 3v — 6
\]
Переносим все члены с \( v \) в одну сторону:
\[
5v — 3v = -6 — 10
\]
\[
2v = -16
\]
\[
v = -8
\]
Это значение не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной. Давайте проверим значения скорости, которые нам даны: \( v = 28, 29.7, 35.5 \).
Теперь найдем среднюю скорость парохода. Средняя скорость рассчитывается как общее расстояние, деленное на общее время.
Общее время:
\[
T_{total} = 5 + 3 = 8 \text{ ч}
\]
Общее расстояние:
\[
D_{total} = D_1 + D_2 = (v + 2) \times 5 + (v — 2) \times 3
\]
Теперь подставим значения \( v \):
1. Для \( v = 28 \):
\[
D_{total} = (28 + 2) \times 5 + (28 — 2) \times 3 =
\]
\[
= 30 \times 5 + 26 \times 3 = 150 + 78 = 228
\]
Средняя скорость:
\[
V_{avg} = \frac{D_{total}}{T_{total}} = \frac{228}{8} = 28.5 \text{ км/ч}
\]
2. Для \( v = 29.7 \):
\[
D_{total} = (29.7 + 2) \times 5 + (29.7 — 2) \times 3 =
\]
\[
= 31.7 \times 5 + 27.7 \times 3 = 158.5 + 83.1 = 241.6
\]
Средняя скорость:
\[
V_{avg} = \frac{241.6}{8} = 30.2 \text{ км/ч}
\]
3. Для \( v = 35.5 \):
\[
D_{total} = (35.5 + 2) \times 5 + (35.5 — 2) \times 3 =
\]
\[
= 37.5 \times 5 + 33.5 \times 3 = 187.5 + 100.5 = 288
\]
Средняя скорость:
\[
V_{avg} = \frac{288}{8} = 36 \text{ км/ч}
\]
Таким образом, средние скорости парохода при данных значениях собственных скоростей составляют:
— При \( v = 28: V_{avg} = 28.5 \text{ км/ч} \)
— При \( v = 29.7: V_{avg} = 30.2 \text{ км/ч} \)
— При \( v = 35.5: V_{avg} = 36 \text{ км/ч} \)
Для решения задачи начнем с определения выражения для средней скорости парохода.
Обозначим:
— v — собственная скорость парохода (км/ч),
— c — скорость течения реки (2 км/ч).
Пароход плыл 5 часов по течению и 3 часа против течения.
Сначала вычислим скорость парохода в каждом направлении:
1. Скорость по течению: v + c = v + 2
2. Скорость против течения: v — c = v — 2
Теперь найдем расстояние, пройденное пароходом в каждом направлении:
— Расстояние по течению: D1 = (v + 2) * 5
— Расстояние против течения: D2 = (v — 2) * 3
Так как расстояния равны, можем записать уравнение:
(v + 2) * 5 = (v — 2) * 3
Теперь раскроем скобки:
5v + 10 = 3v — 6
Переносим все члены с v в одну сторону:
5v — 3v = -6 — 10
2v = -16
v = -8
Это значение не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной. Давайте теперь проверим значения скорости, которые нам даны: v = 28, 29.7, 35.5.
Чтобы найти среднюю скорость парохода, нам нужно рассчитать общее расстояние и общее время.
Общее расстояние будет равно расстоянию по течению плюс расстоянию против течения:
D = D1 + D2 = (v + 2) * 5 + (v — 2) * 3
Общее время — это сумма времени в пути:
T = 5 + 3 = 8
Теперь подставим значения для v и найдем среднюю скорость Vср:
Vср = D / T
Теперь подставим каждое значение v и найдем среднюю скорость.
1. Для v = 28:
D1 = (28 + 2) * 5 = 30 * 5 = 150 км
D2 = (28 — 2) * 3 = 26 * 3 = 78 км
D = 150 + 78 = 228 км
Vср = D / T = 228 / 8 = 28.5 км/ч
2. Для v = 29.7:
D1 = (29.7 + 2) * 5 = 31.7 * 5 = 158.5 км
D2 = (29.7 — 2) * 3 = 27.7 * 3 = 83.1 км
D = 158.5 + 83.1 = 241.6 км
Vср = D / T = 241.6 / 8 = 30.2 км/ч
3. Для v = 35.5:
D1 = (35.5 + 2) * 5 = 37.5 * 5 = 187.5 км
D2 = (35.5 — 2) * 3 = 33.5 * 3 = 100.5 км
D = 187.5 + 100.5 = 288 км
Vср = D / T = 288 / 8 = 36 км/ч
Таким образом, средняя скорость парохода для указанных значений собственных скоростей составит:
— Для v = 28: средняя скорость около 28.5 км/ч.
— Для v = 29.7: средняя скорость около 30.2 км/ч.
— Для v = 35.5: средняя скорость около 36 км/ч.
Математика
