Учебник математики для 6-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 53 Петерсон — Подробные Ответы
Сначала вычислим значения выражений для заданных значений a и b.
1. Выражение (a-b)^2:
(a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2
Это равенство показывает, что оба выражения равны.
2. Выражение a^2 — b^2 можно разложить как (a-b)(a+b), но в данном контексте оно не равно (a-b)^2.
Теперь вычислим значения для каждого случая.
а) a=4, b=1
— (4-1)^2 = 3^2 = 9
— 4^2 — 1^2 = 16 — 1 = 15
— 4^2 — 2 * 4 * 1 + 1^2 = 16 — 8 + 1 = 9
б) a=-3, b=2
— (-3-2)^2 = (-5)^2 = 25
— (-3)^2 — 2^2 = 9 — 4 = 5
— (-3)^2 — 2 * (-3) * 2 + 2^2 = 9 + 12 + 4 = 25
в) a=-1, b=-5
— (-1 — (-5))^2 = (4)^2 = 16
— (-1)^2 — (-5)^2 = 1 — 25 = -24
— (-1)^2 — 2 * (-1) * (-5) + (-5)^2 = 1 — 10 + 25 = 16
Результаты:
1. Для a=4, b=1:
— (a-b)^2 = 9
— a^2 — b^2 = 15
— a^2 — 2ab + b^2 = 9
2. Для a=-3, b=2:
— (a-b)^2 = 25
— a^2 — b^2 = 5
— a^2 — 2ab + b^2 = 25
3. Для a=-1, b=-5:
— (a-b)^2 = 16
— a^2 — b^2 = -24
— a^2 — 2ab + b^2 = 16
Замечаем, что (a-b)^2 и a^2 — 2ab + b^2 всегда равны. Однако a^2 — b^2 может принимать совершенно разные значения.
Теперь проверим гипотезу для произвольно выбранных значений a и b. Пусть, например, a=5 и b=3:
— (5-3)^2 = 4
— 5^2 — 3^2 = 25 — 9 = 16
— 5^2 — 2 * 5 * 3 + 3^2 = 25 — 30 + 9 = 4
Как видно, (a-b)^2 и a^2 — 2ab + b^2 равны, а a^2 — b^2 дает другое значение.
Графически можно представить это с помощью параболы. Уравнение (x-y)^2 соответствует параболе, открытой вверх, а уравнение x^2 — y^2 представляет собой гиперболу. Это объясняет различия в значениях: одно выражение всегда положительно или ноль, а другое может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от значений x и y.
Начнем с выражений:
1. (a-b)^2
2. a^2 — b^2
3. a^2 — 2ab + b^2
Мы знаем, что (a-b)^2 равно a^2 — 2ab + b^2. Это значит, что первое и третье выражения равны. Однако a^2 — b^2 можно разложить на множители как (a-b)(a+b), и оно не равно (a-b)^2.
Теперь вычислим значения для каждого случая.
а) a=4, b=1
1. Вычислим (4-1)^2:
(4-1) = 3
(4-1)^2 = 3^2 = 9
2. Теперь вычислим a^2 — b^2:
4^2 = 16
1^2 = 1
a^2 — b^2 = 16 — 1 = 15
3. Далее вычислим a^2 — 2ab + b^2:
a^2 = 16
2ab = 2 * 4 * 1 = 8
b^2 = 1
a^2 — 2ab + b^2 = 16 — 8 + 1 = 9
Результаты для a=4, b=1:
— (a-b)^2 = 9
— a^2 — b^2 = 15
— a^2 — 2ab + b^2 = 9
б) a=-3, b=2
1. Вычислим (-3-2)^2:
(-3-2) = -5
(-3-2)^2 = (-5)^2 = 25
2. Теперь вычислим a^2 — b^2:
(-3)^2 = 9
2^2 = 4
a^2 — b^2 = 9 — 4 = 5
3. Далее вычислим a^2 — 2ab + b^2:
a^2 = 9
2ab = 2 * (-3) * 2 = -12
b^2 = 4
a^2 — 2ab + b^2 = 9 — (-12) + 4 = 9 + 12 + 4 = 25
Результаты для a=-3, b=2:
— (a-b)^2 = 25
— a^2 — b^2 = 5
— a^2 — 2ab + b^2 = 25
в) a=-1, b=-5
1. Вычислим (-1 — (-5))^2:
(-1 + 5) = 4
(-1 — (-5))^2 = (4)^2 = 16
2. Теперь вычислим a^2 — b^2:
(-1)^2 = 1
(-5)^2 = 25
a^2 — b^2 = 1 — 25 = -24
3. Далее вычислим a^2 — 2ab + b^2:
a^2 = 1
2ab = 2 * (-1) * (-5) = 10
b^2 = 25
a^2 — 2ab + b^2 = 1 — 10 + 25 = 16
Результаты для a=-1, b=-5:
— (a-b)^2 = 16
— a^2 — b^2 = -24
— a^2 — 2ab + b^2 = 16
Теперь подведем итоги:
1. Для a=4, b=1:
(a-b)^2 = 9, a^2 — b^2 = 15, a^2 — 2ab + b^2 = 9.
2. Для a=-3, b=2:
(a-b)^2 = 25, a^2 — b^2 = 5, a^2 — 2ab + b^2 = 25.
3. Для a=-1, b=-5:
(a-b)^2 = 16, a^2 — b^2 = -24, a^2 — 2ab + b^2 = 16.
Что мы замечаем?
Мы видим, что (a-b)^2 и a^2 — 2ab + b^2 всегда равны между собой, в то время как a^2 — b^2 может принимать разные значения в зависимости от значений a и b.
Для проверки гипотезы можно выбрать произвольные значения для a и b и повторить вычисления. Например, пусть a=5 и b=3:
1. (5-3)^2 = (2)^2 = 4.
Проверяем остальные выражения:
a) \(a=5\), \(b=3\):
— \(5^2 — 3^2 = 25 — 9 = 16\)
— \(5^2 — 10 + 9\) (где \(10\) – это \(b \cdot a\)) будет равно \(25 -10 +9=24\).
Таким образом, видно, что (a-b)^2 и a^2 — 2ab + b^2 всегда равны друг другу. Можно использовать графическую модель для объяснения: график функции y=(x-b)^2 всегда будет параболой, открытой вверх и будет иметь минимум в точке x=b. Это иллюстрирует, что разность между двумя числами в квадрате всегда будет неотрицательной и будет равна нулю только тогда, когда числа равны.
Математика
