Учебник математики для 6-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 15 Петерсон — Подробные Ответы
1) Дано: AC = 4 см, BC = 3 см, AB = 5 см.
Синус угла A равен отношению BC к AB: sin A = 3/5. Косинус угла A равен отношению AC к AB: cos A = 4/5. Тангенс угла A вычисляется как отношение BC к AC: tg A = 3/4.
2) Проверяем: (3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1.
3) Умножаем: 3/4 * 4/3 = 1. Таким образом, произведение тангенса и котангенса угла A равно 1.
4) Для угла B:
Синус угла B равен отношению AC к AB: sin B = 4/5. Косинус угла B равен отношению BC к AB: cos B = 3/5. Тангенс угла B вычисляется как отношение AC к BC: tg B = 4/3.
Проверяем: (4/5)^2 + (3/5)^2 = 16/25 + 9/25 = 25/25 = 1.
Умножаем: 4/3 * 3/4 = 1. Таким образом, произведение тангенса и котангенса угла B равно 1.
Замечаем, что сумма квадратов синуса и косинуса любого угла равна 1. Также отношение синуса угла к его косинусу равно тангенсу этого угла.
5) Гипотеза: сумма квадратов синуса и косинуса любого угла равна 1.
На рисунке синус угла A равен отношению BC к AB: sin A = BC / AB. Косинус угла A равен отношению AC к AB: cos A = AC / AB.
Сумма квадратов синуса и косинуса угла A записывается следующим образом:
sin^2 A + cos^2 A = (BC / AB)^2 + (AC / AB)^2 = BC^2 / AB^2 + AC^2 / AB^2 = (BC^2 + AC^2) / AB^2.
По теореме Пифагора известно, что BC^2 + AC^2 = AB^2. Подставляем это в формулу:
sin^2 A + cos^2 A = (BC^2 + AC^2) / AB^2 = AB^2 / AB^2 = 1.
Гипотеза доказана.
1) Рассмотрим треугольник с заданными сторонами: AC = 4 см, BC = 3 см, AB = 5 см.
Найдем тригонометрические функции для угла A:
Синус угла A определяется как отношение противолежащего катета BC к гипотенузе AB. Таким образом, sin A = BC / AB = 3 / 5.
Косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета AC к гипотенузе AB. Следовательно, cos A = AC / AB = 4 / 5.
Тангенс угла A вычисляется как отношение противолежащего катета BC к прилежащему катету AC. Получаем, что tg A = BC / AC = 3 / 4.
2) Проверим основное тригонометрическое тождество sin^2 A + cos^2 A = 1 для угла A:
Подставляем значения: (3 / 5)^2 + (4 / 5)^2 = 9 / 25 + 16 / 25. Складываем дроби с одинаковым знаменателем: 9 / 25 + 16 / 25 = 25 / 25. Таким образом, sin^2 A + cos^2 A = 1.
3) Теперь проверим соотношение между тангенсом и котангенсом угла A:
Произведение тангенса и котангенса угла A должно равняться 1. Подставляем значения: tg A * ctg A = (3 / 4) * (4 / 3). Перемножаем дроби: 3 * 4 / (4 * 3) = 12 / 12 = 1. Условие выполняется.
4) Рассмотрим теперь угол B того же треугольника.
Синус угла B определяется как отношение противолежащего катета AC к гипотенузе AB. Таким образом, sin B = AC / AB = 4 / 5.
Косинус угла B определяется как отношение прилежащего катета BC к гипотенузе AB. Следовательно, cos B = BC / AB = 3 / 5.
Тангенс угла B вычисляется как отношение противолежащего катета AC к прилежащему катету BC. Получаем, что tg B = AC / BC = 4 / 3.
Проверим основное тригонометрическое тождество sin^2 B + cos^2 B = 1 для угла B:
Подставляем значения: (4 / 5)^2 + (3 / 5)^2 = 16 / 25 + 9 / 25. Складываем дроби с одинаковым знаменателем: 16 / 25 + 9 / 25 = 25 / 25. Таким образом, sin^2 B + cos^2 B = 1.
Проверим соотношение между тангенсом и котангенсом угла B:
Произведение тангенса и котангенса угла B должно равняться 1. Подставляем значения: tg B * ctg B = (4 / 3) * (3 / 4). Перемножаем дроби: 4 * 3 / (3 * 4) = 12 / 12 = 1. Условие выполняется.
Замечаем, что для обоих углов A и B сумма квадратов синуса и косинуса равна 1. Также отношение синуса угла к его косинусу равно тангенсу этого угла, а произведение тангенса и котангенса равно 1.
5) Сформулируем и докажем гипотезу: сумма квадратов синуса и косинуса любого угла равна 1.
На рисунке синус угла A выражается как отношение противолежащего катета BC к гипотенузе AB: sin A = BC / AB.
Косинус угла A выражается как отношение прилежащего катета AC к гипотенузе AB: cos A = AC / AB.
Сумма квадратов этих функций записывается следующим образом:
sin^2 A + cos^2 A = (BC / AB)^2 + (AC / AB)^2.
Возводим дроби в квадрат: (BC / AB)^2 = BC^2 / AB^2, (AC / AB)^2 = AC^2 / AB^2.
Складываем дроби: sin^2 A + cos^2 A = BC^2 / AB^2 + AC^2 / AB^2 = (BC^2 + AC^2) / AB^2.
По теореме Пифагора известно, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: BC^2 + AC^2 = AB^2. Подставляем это в формулу:
sin^2 A + cos^2 A = (BC^2 + AC^2) / AB^2 = AB^2 / AB^2 = 1.
Таким образом, доказано, что сумма квадратов синуса и косинуса любого угла равна 1.
Математика
