Учебник математики для 6-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 457 Петерсон — Подробные Ответы
В прямоугольнике ABCD точки М и N делят сторону AВ в отношении 2 : 1 : 3, считая от вершины А. Известно, что АВ = 24 см, AD = 15 см. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD? Найди липшие данные в условии этой задачи.
Пусть A(0, 0), B(24, 0), C(24, 15), D(0, 15).
Координаты точки M, делящей отрезок AB в отношении 2:1:
M = (16, 0).
Координаты точки N, делящей отрезок AB в отношении 1:3:
N = (6, 0).
Теперь найдем уравнения отрезков MD и NC.
Для отрезка MD (M(16, 0) и D(0, 15)):
k_MD = (15 — 0) / (0 — 16) = -15/16.
Уравнение: y = -15/16 * x + 15.
Для отрезка NC (N(6, 0) и C(24, 15)):
k_NC = (15 — 0) / (24 — 6) = 15/18 = 5/6.
Уравнение: y = (5/6) * x — 5.
Теперь найдем точки пересечения отрезков с линиями AD и BC.
1. Для отрезка MD с x=0 (линия AD):
y = 15. Точка пересечения P(0, 15).
2. Для отрезка NC с x=24 (линия BC):
y = (5/6) * 24 — 5 = 20. Точка пересечения Q(24, 20).
Теперь вычислим площади фигур:
— Площадь треугольника AMD: S1 = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 16 * 15 = 120 см².
— Площадь треугольника ANC: S2 = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 6 * 15 = 45 см².
— Площадь прямоугольника ABCD: S = 24 * 15 = 360 см².
Отношение площадей:
S1:S2 = 120:45 = 8:3.
Пусть A(0, 0), B(24, 0), C(24, 15), D(0, 15).
Координаты точки M, делящей отрезок AB в отношении 2:1:
M = (16, 0).
Координаты точки N, делящей отрезок AB в отношении 1:3:
N = (6, 0).
Теперь найдём уравнения отрезков MD и NC.
Для отрезка MD (M(16, 0) и D(0, 15)):
1. Найдём угол наклона (k_MD):
k_MD = (15 — 0) / (0 — 16) = -15/16.
2. Уравнение отрезка можно записать в виде:
y — 0 = -15/16 * (x — 16), что упрощается до y = -15/16 * x + 15.
Для отрезка NC (N(6, 0) и C(24, 15)):
1. Найдём угол наклона (k_NC):
k_NC = (15 — 0) / (24 — 6) = 15/18 = 5/6.
2. Уравнение отрезка:
y — 0 = (5/6) * (x — 6), что даёт y = (5/6) * x — 5.
Теперь найдём точки пересечения отрезков с линиями AD и BC.
1. Для отрезка MD с линией AD (x = 0):
Подставим x = 0 в уравнение MD:
y = -15/16 * 0 + 15 = 15.
Точка пересечения P(0, 15).
2. Для отрезка NC с линией BC (x = 24):
Подставим x = 24 в уравнение NC:
y = (5/6) * 24 — 5 = 20.
Точка пересечения Q(24, 20).
Теперь вычислим площади фигур, на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD.
Площадь треугольника AMD:
S1 = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 16 * 15 = 120 см².
Площадь треугольника ANC:
S2 = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 6 * 15 = 45 см².
Теперь найдём площадь прямоугольника ABCD:
S_rect = AB * AD = 24 * 15 = 360 см².
Площадь фигуры, образованной отрезком MD и линией AD, будет равна S_rect — S1 — S2:
S_figure_MD = S_rect — S1 — S2 = 360 — 120 — 45 = 195 см².
Теперь найдём отношение площадей фигур:
Отношение площадей S1:S2 = 120:45 = 8:3.
Таким образом, отношение площадей фигур, на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD, равно 8:3.
Математика
