Учебник математики для 6-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 471 Петерсон — Подробные Ответы
В прямоугольнике ABCD сторона AD равна 20 см, а сторона АВ на 60 % больше стороны AD. Точка М делит сторону АВ в отношении 4 : 1, считая от вершины А. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD? Найди лишние данные в условии этой задачи.
1. Сторона AD равна 20 см.
2. Сторона AB на 60% больше стороны AD:
AB = AD + 0.6 * AD = 20 + 0.6 * 20 = 20 + 12 = 32 см.
Теперь у нас есть размеры прямоугольника ABCD: AD = 20 см и AB = 32 см.
3. Точка M делит сторону AB в отношении 4:1, считая от вершины A. Это значит, что:
AM = (4 / (4 + 1)) * AB = (4 / 5) * 32 = 25.6 см.
MB = (1 / 5) * AB = (1 / 5) * 32 = 6.4 см.
Теперь определим координаты точек:
— A(0, 0)
— B(32, 0)
— C(32, 20)
— D(0, 20)
— M(25.6, 0)
4. Теперь найдем координаты точки D и точки M:
D(0, 20)
M(25.6, 0)
5. Найдем уравнение прямой MD. Для этого используем координаты точек M и D. Угловой коэффициент k:
k = (y_D — y_M) / (x_D — x_M) = (20 — 0) / (0 — 25.6) = 20 / -25.6 = -5 / 6.4 = -25 / 32.
Уравнение прямой (используя точку M):
y — 0 = (-25 / 32)(x — 25.6).
Теперь, чтобы найти отношение площадей фигур, на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD, нужно определить точку пересечения этой прямой с вертикальной линией, проведенной через точку D (x = 0).
Подставим x = 0 в уравнение прямой:
y = (-25 / 32)(0 — 25.6) = (25 * 25.6) / 32 = 20 см.
Это означает, что отрезок MD не делит прямоугольник ABCD на две части, поскольку точка пересечения находится на стороне AD.
Таким образом, отношение площадей фигур, на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD, равно 1:1.
Лишние данные в условии:
— Длина стороны AD не нужна для нахождения отношения площадей, поскольку оно определяется только отношением частей AB и MB.
1. У нас есть прямоугольник ABCD, где сторона AD равна 20 см. Это значит, что:
AD = 20 см.
2. Сторона AB на 60% больше стороны AD. Чтобы найти длину стороны AB, нужно вычислить:
AB = AD + 0.6 * AD = 20 + 0.6 * 20 = 20 + 12 = 32 см.
Теперь у нас есть размеры прямоугольника ABCD:
— AD = 20 см
— AB = 32 см
3. Точка M делит сторону AB в отношении 4:1, считая от вершины A. Это означает, что:
— AM = (4 / (4 + 1)) * AB = (4 / 5) * 32 = 25.6 см.
— MB = (1 / 5) * AB = (1 / 5) * 32 = 6.4 см.
Теперь определим координаты точек:
— A(0, 0)
— B(32, 0)
— C(32, 20)
— D(0, 20)
— M(25.6, 0)
4. Теперь найдем уравнение прямой MD. Для этого используем координаты точек M и D. Угловой коэффициент k можно найти по формуле:
k = (y_D — y_M) / (x_D — x_M) = (20 — 0) / (0 — 25.6) = 20 / -25.6.
Упростим это выражение:
k = -20 / 25.6 = -5 / 6.4 = -25 / 32.
Теперь мы можем записать уравнение прямой MD, используя точку M:
y — y_M = k * (x — x_M),
где (x_M, y_M) — координаты точки M.
Подставляем значения:
y — 0 = (-25 / 32)(x — 25.6).
5. Теперь найдем точки пересечения этой прямой с границами прямоугольника ABCD. Границы прямоугольника — это линии x = 0, x = 32, y = 0 и y = 20.
Сначала найдем пересечение с линией y = 20:
20 = (-25 / 32)(x — 25.6).
Умножим обе стороны на -32/25:
x — 25.6 = -32/25 * 20,
x — 25.6 = -25.6,
x = 0.
Теперь найдем пересечение с линией y = 0:
0 = (-25 / 32)(x — 25.6).
Это дает нам x = 25.6, что уже известная точка M.
Теперь найдем пересечение с линией x = 32:
y = (-25 / 32)(32 — 25.6) = (-25 / 32) * 6.4,
y = -5.
Так как y не может быть отрицательным в пределах прямоугольника, мы не учитываем этот случай.
Теперь у нас есть две точки пересечения: одна — это точка M (25.6, 0), другая — это точка на стороне CD (0, 20).
6. Теперь мы можем найти площади фигур, на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD. Площадь всего прямоугольника ABCD:
S_ABCD = AD * AB = 20 * 32 = 640 см².
7. Площадь треугольника AMD можно найти по формуле:
S_AMD = (1/2) * основание * высота.
Основание — это AM, высота — это расстояние от точки D до линии AM.
Площадь треугольника MCD также можно найти аналогично.
8. Отношение площадей фигур, на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD, будет равно:
отношение S_AMD к S_MCD.
Лишними данными в условии являются размеры сторон прямоугольника, так как они не влияют на конечное отношение площадей фигур, на которые делит отрезок MD. Основное внимание уделяется только отношениям и координатам точек.
Математика
