ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 125 Петерсон — Подробные Ответы

а) Обозначим общее количество учеников в классе как \( x \).

1. Пятёрки: \( \frac{1}{6}x \)
2. Четвёрки: \( \frac{8}{15}x \)
3. Троек: \( \frac{8}{15}x — 10 \)
4. Двоек: 3

Суммируем все оценки:
\[
\frac{1}{6}x + \frac{8}{15}x + \left( \frac{8}{15}x — 10 \right) + 3 = x
\]

Сначала приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и 15 — это 30:
— \( \frac{1}{6} = \frac{5}{30} \)
— \( \frac{8}{15} = \frac{16}{30} \)

Теперь подставим:
\[
\frac{5}{30}x + \frac{16}{30}x + \left( \frac{16}{30}x — 10 \right) + 3 = x
\]

Упрощаем уравнение:
\[
\frac{5}{30}x + \frac{16}{30}x + \frac{16}{30}x — 10 + 3 = x
\]
\[
\frac{37}{30}x — 7 = x
\]

Переносим \( x \) влево:
\[
\frac{37}{30}x — x = 7
\]
\[
\frac{37}{30}x — \frac{30}{30}x = 7
\]
\[
\frac{7}{30}x = 7
\]

Умножаем обе стороны на 30:
\[
7x = 210
\]
\[
x = 30
\]

Теперь подставим значение \( x \) обратно, чтобы найти количество пятёрок и четвёрок:
— Пятёрки: \( \frac{1}{6} \times 30 = 5 \)
— Четвёрки: \( \frac{8}{15} \times 30 = 16 \)

Теперь найдем процент учеников, написавших контрольную работу на «4» и «5»:
\[
5 + 16 = 21
\]
Процент:
\[
\frac{21}{30} \times 100\% = 70\%
\]

Ответ:
— Процент учеников, написавших на «4» и «5»: 70%
— Четвёрок: 16, пятёрок: 5.

б) Обозначим первое число как \( x \), а второе как \( y \). Из условия задачи имеем:
1. \( x = y + 3 \)
2. Если меньшее число увеличить на 50%, а большее уменьшить на 40%, то их сумма не изменится:
\[
1.5y + 0.6x = y + x
\]

Подставим \( x \) из первого уравнения во второе:
\[
1.5y + 0.6(y + 3) = y + (y + 3)
\]

Решаем уравнение:
\[
1.5y + 0.6y + 1.8 = 2y + 3
\]
\[
2.1y + 1.8 = 2y + 3
\]
Переносим все к одной стороне:
\[
2.1y — 2y = 3 — 1.8
\]
\[
0.1y = 1.2
\]
\[
y = 12
\]

Теперь находим \( x \):
\[
x = y + 3 = 12 + 3 = 15
\]

Теперь найдем, на сколько процентов первое число больше второго:
\[
\text{Процентное увеличение} = \frac{x — y}{y} \times 100\% = \frac{15 — 12}{12} \times 100\% = \frac{3}{12} \times 100\% = 25\%
\]

И на сколько процентов второе число меньше первого:
\[
\text{Процентное уменьшение} = \frac{x — y}{x} \times 100\% = \frac{15 — 12}{15} \times 100\% = \frac{3}{15} \times 100\% = 20\%
\]

Ответ:
— Первое число больше второго на 25%.
— Второе число меньше первого на 20%.

Обозначим общее количество учеников в классе как x.

1. Пятёрки: 1/6 часть класса получила пятёрки, значит количество пятёрок будет (1/6)x.
2. Четвёрки: 8/15 класса получили четвёрки, значит количество четвёрок будет (8/15)x.
3. Троек: сказано, что троек было на 10 меньше, чем четвёрок, значит количество троек будет (8/15)x — 10.
4. Двоек: известно, что двоек было 3.

Теперь мы можем записать уравнение, которое учитывает все оценки. Суммируем все оценки и приравниваем к общему количеству учеников:

(1/6)x + (8/15)x + ((8/15)x — 10) + 3 = x

Чтобы решить это уравнение, сначала приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и 15 — это 30:

1/6 = 5/30
8/15 = 16/30

Теперь подставим эти значения в уравнение:

(5/30)x + (16/30)x + ((16/30)x — 10) + 3 = x

Упрощаем уравнение:

(5/30)x + (16/30)x + (16/30)x — 10 + 3 = x

Сложим дроби:

(5/30 + 16/30 + 16/30)x — 10 + 3 = x

(37/30)x — 7 = x

Теперь перенесем x влево:

(37/30)x — x = 7

Преобразуем x в дробь с тем же знаменателем:

(37/30)x — (30/30)x = 7

(7/30)x = 7

Теперь умножим обе стороны на 30:

7x = 210

Разделим обе стороны на 7:

x = 30

Теперь подставим значение x обратно, чтобы найти количество пятёрок и четвёрок:

Количество пятёрок: (1/6) * 30 = 5
Количество четвёрок: (8/15) * 30 = 16

Теперь найдем количество троек:

Количество троек: (8/15) * 30 — 10 = 16 — 10 = 6

Теперь подведем итог:
— Пятёрок: 5
— Четвёрок: 16
— Троек: 6
— Двоек: 3

Теперь найдем процент учеников, которые написали контрольную работу на «4» и «5»:

Общее количество учеников: 30
Количество учеников, написавших на «4» и «5»: 5 + 16 = 21

Процент учеников, написавших на «4» и «5»:
(21 / 30) * 100% = 70%

б) Обозначим первое число как a, а второе число как b.

По условию задачи первое число больше второго на 3:

a = b + 3

Также сказано, что если меньшее число увеличить на 50%, а большее уменьшить на 40%, то их сумма не изменится:

1. Увеличиваем меньшее число на 50%: b + 0.5b = 1.5b
2. Уменьшаем большее число на 40%: a — 0.4a = 0.6a

Теперь запишем уравнение:

1.5b + 0.6a = a + b

Подставим значение a из первого уравнения:

1.5b + 0.6(b + 3) = (b + 3) + b

Раскроем скобки:

1.5b + 0.6b + 1.8 = b + 3 + b

Сложим подобные члены:

2.1b + 1.8 = 2b + 3

Переносим все в одну сторону:

2.1b — 2b + 1.8 — 3 = 0

0.1b — 1.2 = 0

Теперь решим уравнение:

0.1b = 1.2

b = 12

Теперь найдем a:

a = b + 3 = 12 + 3 = 15

Теперь найдем, на сколько процентов первое число больше второго:

Процентное отношение:

((a — b) / b) * 100% = ((15 — 12) / 12) * 100% = (3 / 12) * 100% = 25%

Теперь найдем, на сколько процентов второе число меньше первого:

((a — b) / a) * 100% = ((15 — 12) / 15) * 100% = (3 / 15) * 100% = 20%

Итак, результаты:
— Первое число больше второго на 25%.
— Второе число меньше первого на 20%.