Учебник математики для 6-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 394 Петерсон — Подробные Ответы
а) Обозначим стороны треугольника как \( a \), \( b \) и \( c \), где \( b \) — это меньшая сторона, \( a \) — большая сторона, а \( c \) — самая большая сторона.
По условию задачи:
1. \( a = 1.5b \) (первая сторона на 50 % больше второй)
2. \( c = 1.25a \) (первая сторона на 25 % меньше третьей)
Теперь подставим значение \( a \) в уравнение для \( c \):
\[
c = 1.25(1.5b) = 1.875b
\]
Теперь у нас есть стороны треугольника:
— \( a = 1.5b \)
— \( b = b \)
— \( c = 1.875b \)
Периметр исходного треугольника:
\[
P_{old} = a + b + c = 1.5b + b + 1.875b = 4.375b
\]
Теперь увеличим меньшую сторону \( b \) на 40 % и большую сторону \( a \) на 25 %:
— Новая меньшая сторона: \( b_{new} = b + 0.4b = 1.4b \)
— Новая большая сторона: \( a_{new} = a + 0.25a = 1.5b + 0.375b = 1.875b \)
Сторона \( c \) остается прежней, так как не указано, что она меняется.
Новый периметр:
\[
P_{new} = a_{new} + b_{new} + c = 1.875b + 1.4b + 1.875b = 5.15b
\]
Теперь найдем изменение периметра:
\[
\Delta P = P_{new} — P_{old} = 5.15b — 4.375b = 0.775b
\]
Процентное изменение периметра:
\[
\text{Процентное изменение} = \left( \frac{\Delta P}{P_{old}} \right) \times 100\% = \left( \frac{0.775b}{4.375b} \right) \times 100\% \approx 17.7\%
\]
Ответ: Периметр увеличился на примерно **17.7 %**.
б) Обозначим стороны прямоугольника как \( l \) (большая сторона) и \( w \) (меньшая сторона). По условию задачи:
1. \( l = 3w \) (одна сторона на 200 % больше другой)
Периметр исходного прямоугольника:
\[
P_{old} = 2(l + w) = 2(3w + w) = 2(4w) = 8w
\]
Теперь увеличим меньшую сторону \( w \) на 30 % и уменьшим большую сторону \( l \) на 30 %:
— Новая меньшая сторона: \( w_{new} = w + 0.3w = 1.3w \)
— Новая большая сторона: \( l_{new} = l — 0.3l = 3w — 0.9w = 2.1w \)
Новый периметр:
\[
P_{new} = 2(l_{new} + w_{new}) = 2(2.1w + 1.3w) = 2(3.4w) = 6.8w
\]
Теперь найдем изменение периметра:
\[
\Delta P = P_{new} — P_{old} = 6.8w — 8w = -1.2w
\]
Процентное изменение периметра:
\[
\text{Процентное изменение} = \left( \frac{\Delta P}{P_{old}} \right) \times 100\% = \left( \frac{-1.2w}{8w} \right) \times 100\% = -15\%
\]
Ответ: Периметр уменьшился на **15 %**.
а) Обозначим стороны треугольника как a, b и c, где b — это меньшая сторона, a — большая сторона, а c — самая большая сторона.
По условию задачи:
1. Первая сторона (a) на 50% больше второй (b), то есть a = 1.5b.
2. Первая сторона (a) на 25% меньше третьей (c), что можно записать как a = 0.75c. Отсюда следует, что c = a / 0.75 = 1.3333a.
Теперь подставим значение a в уравнение для c:
c = 1.25a, значит:
c = 1.25 * (1.5b) = 1.875b.
Теперь у нас есть стороны треугольника:
— a = 1.5b
— b = b
— c = 1.875b
Периметр исходного треугольника можно вычислить следующим образом:
P_old = a + b + c = 1.5b + b + 1.875b = 4.375b.
Теперь увеличим меньшую сторону b на 40% и большую сторону a на 25%:
— Новая меньшая сторона: b_new = b + 0.4b = 1.4b.
— Новая большая сторона: a_new = a + 0.25a = 1.5b + 0.375b = 1.875b.
Сторона c остается прежней, так как не указано, что она меняется.
Теперь найдем новый периметр:
P_new = a_new + b_new + c = 1.875b + 1.4b + 1.875b = 5.15b.
Теперь можем найти изменение периметра:
Изменение периметра: ΔP = P_new — P_old = 5.15b — 4.375b = 0.775b.
Чтобы найти процентное изменение периметра, используем формулу:
Процентное изменение = (ΔP / P_old) * 100% = (0.775b / 4.375b) * 100% ≈ 17.68%.
Таким образом, периметр треугольника увеличился примерно на 17.68%.
б) Теперь рассмотрим прямоугольник. Обозначим его стороны как x и y, где x — большая сторона, а y — меньшая сторона.
По условию задачи:
Одна сторона (x) на 200% больше второй (y), что можно записать как x = y + 2y = 3y.
Теперь найдем периметр исходного прямоугольника:
P_old = 2(x + y) = 2(3y + y) = 2(4y) = 8y.
Теперь увеличим меньшую сторону y на 30% и большую сторону x на 30%:
— Новая меньшая сторона: y_new = y + 0.3y = 1.3y.
— Новая большая сторона: x_new = x — 0.3x = x(1 — 0.3) = 3y * 0.7 = 2.1y.
Теперь найдем новый периметр:
P_new = 2(x_new + y_new) = 2(2.1y + 1.3y) = 2(3.4y) = 6.8y.
Теперь можем найти изменение периметра:
ΔP = P_new — P_old = 6.8y — 8y = -1.2y.
Процентное изменение периметра:
Процентное изменение = (ΔP / P_old) * 100% = (-1.2y / 8y) * 100% = -15%.
Таким образом, периметр прямоугольника уменьшился на 15%.
Математика
