Учебник математики для 6-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
Обзор учебника:
1) Инновационная структура: Учебник организован по модульному принципу, что позволяет ученикам постепенно осваивать новые темы и связывать их между собой. Каждый модуль включает в себя теорию, практические задания и проекты.
2) Акцент на понимание: Авторы делают упор на глубокое понимание математических концепций, а не просто на механическое запоминание формул. Это достигается через объяснения и примеры, которые иллюстрируют практическое применение математики.
3) Разнообразие форматов заданий: Учебник предлагает различные типы заданий: от классических упражнений до творческих проектов, что помогает поддерживать интерес учеников и развивать их навыки.
4) Работа в группах: Включены задания, которые предполагают совместное решение задач, что способствует развитию командного духа и навыков коммуникации среди учащихся.
5) Дополнительные ресурсы: Учебник сопровождается методическими рекомендациями для учителей и дополнительными материалами для самоподготовки учеников, что обеспечивает всестороннюю поддержку в обучении.
Таким образом, учебник Петерсон по математике для 6-го класса является отличным выбором для учеников и учителей, стремящихся к глубокому и осознанному изучению предмета.
ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 621 Петерсон — Подробные Ответы
а) \( a < 0 \Rightarrow -a > 0 \)
Это утверждение истинно. Если \( a < 0 \), то \( -a \) будет положительным.
Отрицание: \( a < 0 \) и \( -a \leq 0 \).
б) \( b < 1 \Rightarrow \frac{1}{b} > 1 \)
Это утверждение ложно. Например, если \( b = 0.5 \), то \( \frac{1}{0.5} = 2 > 1 \), но если \( b = 0.9 \), то \( \frac{1}{0.9} \approx 1.11 > 1 \). Однако, если \( b \) близко к 1, например, \( b = 0.99 \), то \( \frac{1}{0.99} \approx 1.01 > 1 \). Но если \( b \) отрицательное, например, \( b = -1 \), то \( \frac{1}{-1} = -1 \not> 1 \). Таким образом, утверждение не всегда верно.
Отрицание: \( b < 1 \) и \( \frac{1}{b} \leq 1 \).
в) \( x < 1 \Rightarrow |x| < 1 \)
Это утверждение ложно. Например, если \( x = -2 \), то \( x < 1 \), но \( |-2| = 2 \not< 1 \).
Отрицание: \( x < 1 \) и \( |x| \geq 1 \).
г) \( y^2 = 1 \Rightarrow |y| = 1 \)
Это утверждение истинно. Если \( y^2 = 1 \), то \( y = 1 \) или \( y = -1 \), следовательно, \( |y| = 1 \).
Отрицание: \( y^2 = 1 \) и \( |y| \neq 1 \).
Обратные утверждения
Теперь рассмотрим обратные утверждения:
а) Обратное: \( -a > 0 \Rightarrow a < 0 \) — истинно.
б) Обратное: \( \frac{1}{b} > 1 \Rightarrow b < 1 \) — ложно (например, если \( b = 0.5 \)).
в) Обратное: \( |x| < 1 \Rightarrow x < 1 \) — истинно, но не обязательно верно для всех значений (например, если \( x = -0.5\)).
г) Обратное: \( |y| = 1 \Rightarrow y^2 = 1 \) — истинно.
Условия для истинных высказываний со знаком <=>
Чтобы составить истинные высказывания со знаком «<=>», необходимо, чтобы оба утверждения были истинны или оба ложны одновременно. Например:
— Для первого высказывания: \( a < 0 <=> -a > 0\)
— Для второго: это не всегда верно, так как одно может быть истинным, а другое — ложным.
— Для третьего: аналогично.
— Для четвёртого: также верно.
Таким образом, для формирования истинных высказываний со знаком «<=>» необходимо учитывать взаимосвязь между двумя утверждениями и их истинность или ложность.
Давайте разберём каждое из высказываний более подробно.
а) a < 0 → -a > 0
Это утверждение истинно. Если a меньше нуля, то это означает, что a — отрицательное число. В таком случае, когда мы берём отрицательное число и меняем его знак, мы получаем положительное число. Например, если a = -3, то -a = 3, и действительно 3 > 0. Таким образом, данное высказывание является истинным.
Отрицание этого высказывания будет звучать так: a < 0 и -a ≤ 0. Это означает, что a меньше нуля и -a не больше нуля, что невозможно, так как -a всегда будет положительным, если a отрицательно.
б) b < 1 → 1/b > 1
Это утверждение ложно. Рассмотрим несколько примеров. Если b = 0.5, то 1/b = 2, что больше 1. Но если b = 0.9, то 1/b ≈ 1.11, что также больше 1. Однако если b < 0, например, b = -1, то 1/b = -1, что не больше 1. Таким образом, это утверждение не выполняется для всех b < 1.
Отрицание этого высказывания: b < 1 и 1/b ≤ 1. Это означает, что b меньше единицы и 1/b не больше единицы, что может быть верно для некоторых значений b.
в) x < 1 → |x| < 1
Это утверждение также ложно. Например, если x = -2, то x < 1, но |x| = |-2| = 2, что не меньше 1. Таким образом, не все значения x, которые меньше 1, соответствуют условию |x| < 1.
Отрицание этого высказывания: x < 1 и |x| ≥ 1. Это означает, что x меньше единицы и модуль x не меньше единицы.
г) y² = 1 → |y| = 1
Это утверждение истинно. Если y² = 1, то y может быть либо 1, либо -1. В обоих случаях |y| будет равно 1. Таким образом, это высказывание является истинным.
Отрицание этого высказывания: y² = 1 и |y| ≠ 1. Это означает, что y в квадрате равно единице и модуль y не равен единице, что невозможно.
Теперь о обратных утверждениях:
Обратные утверждения к данным высказываниям будут следующими:
а) Если -a > 0, то a < 0. Это утверждение также истинно.
б) Если 1/b > 1, то b < 1. Это утверждение ложно, так как если b отрицательно или равно нулю, то это не обязательно выполняется.
в) Если |x| < 1, то x < 1. Это утверждение истинно.
г) Если |y| = 1, то y² = 1. Это утверждение также истинно.
Теперь о том, когда можно составить истинные высказывания со знаком «⇔» (эквивалентность). Для этого необходимо, чтобы оба условия были истинны или оба условия были ложны одновременно. Например:
— Для a: a < 0 ⇔ -a > 0.
— Для г: y² = 1 ⇔ |y| = 1.
Таким образом, эквивалентность возможна в тех случаях, когда одно условие логически следует из другого в обе стороны.
Математика
