Учебник математики для 6-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 712 Петерсон — Подробные Ответы
а) и б)
| Правильный многогранник | P | B | Г | Г + B — P |
|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр | 6 | 4 | 4 | 4 + 4 — 6 = 2 |
| Гексаэдр (куб) | 12 | 8 | 6 | 6 + 8 — 12 = 2 |
| Октаэдр | 12 | 6 | 8 | 8 + 6 — 12 = 2 |
| Додекаэдр | 30 | 20 | 12 | 12 + 20 — 30 = 2 |
| Икосаэдр | 30 | 12 | 20 | 20 + 12 — 30 = 2 |
Центры граней куба совпадают с вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба. Таким образом, число граней одного совпадает с числом вершин другого, поэтому куб и октаэдр называют взаимными.
Аналогично додекаэдр и икосаэдр являются взаимными телами. Тетраэдр же остается взаимным сам с собой, так как его центры граней совпадают с вершинами.
Для каждого многогранника подсчитаны количество ребер, вершин и граней, а также проверена формула Эйлера, которая утверждает, что сумма количества граней и вершин, уменьшенная на количество ребер, всегда равна двум.
| Правильный многогранник | Количество ребер (P) | Количество вершин (B) | Количество граней (Г) | Г + B — P |
|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр | 6 | 4 | 4 | 4 + 4 — 6 = 2 |
| Гексаэдр (куб) | 12 | 8 | 6 | 6 + 8 — 12 = 2 |
| Октаэдр | 12 | 6 | 8 | 8 + 6 — 12 = 2 |
| Додекаэдр | 30 | 20 | 12 | 12 + 20 — 30 = 2 |
| Икосаэдр | 30 | 12 | 20 | 20 + 12 — 30 = 2 |
Рассмотрим взаимосвязи между многогранниками. Гексаэдр, который чаще называют кубом, и октаэдр являются взаимными многогранниками. Это означает, что если взять центры граней куба, то они образуют вершины октаэдра. Аналогично, если взять центры граней октаэдра, они образуют вершины куба. Таким образом, число граней одного из них равно числу вершин другого, и наоборот.
Другая пара взаимных многогранников — это додекаэдр и икосаэдр. Взаимность между ними проявляется аналогично: центры граней додекаэдра совпадают с вершинами икосаэдра, а центры граней икосаэдра совпадают с вершинами додекаэдра.
Особый случай представляет тетраэдр. Этот многогранник является самовзаимным, то есть его центры граней совпадают с его вершинами. Таким образом, тетраэдр остается уникальным среди правильных многогранников, поскольку он не имеет отдельного взаимного тела.
Формула Эйлера, которая проверяется для всех этих многогранников, подтверждает, что для любого правильного многогранника сумма количества граней и вершин, уменьшенная на количество ребер, всегда равна двум. Это фундаментальное свойство многогранников, которое сохраняется независимо от их формы и взаимосвязей.
