Учебник математики для 5-го класса под редакцией Петерсон – это современный и увлекательный подход к обучению математике. Он ориентирован на развитие логического мышления и творческого подхода к решению задач, что делает его особенно привлекательным для учеников.
ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 693 Петерсон — Подробные Ответы
Докажи истинность равенства: НОК (18, 24) · НОД (18, 24) = 18 · 24. Проверь, выполняется ли оно для чисел 42 и 70, а потом ещё для каких-нибудь двух чисел, которые ты возьмёшь по собственному усмотрению. Сформулируй гипотезу. Можно ли на основании рассмотренных примеров утверждать, что это свойство выполняется для всех натуральных чисел?
18 = 2 * 3 * 3; 24 = 2 * 2 * 2 * 3.
НОД (18, 24) = 2 * 3 = 6;
НОК (18, 24) = 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 18 * 4 = 72.
Тогда:
НОК (18, 24) * НОД (18, 24) = 18 * 24 = 72 * 6 = 18 * 24 (24 * 3) * 6 = 18 * 24 (6 * 3) * 24 = 18 * 24 = истинно.
Что и требовалось доказать.
Проверим для чисел 42 и 70:
42 = 2 * 3 * 7;
70 = 2 * 5 * 7.
НОД (42, 70) = 2 * 7 = 14;
НОК (42, 70) = 2 * 5 * 7 * 3 = 70 * 3 = 210.
Тогда:
НОК (42, 70) * НОД (42, 70) = 42 * 70 = 210 * 14 = 42 * 70 (70 * 3) * 14 = 42 * 70 (14 * 3) * 70 = истинно.
Проверим для чисел 24 и 25:
24 = 2 * 2 * 2 * 3;
25 = 5 * 5.
НОД (24, 25) = 1;
НОК (24, 25) = 24 * 25.
Тогда:
НОК (24, 25) * НОД (24, 25) = 24 * 25 = истинно.
Гипотеза: произведение НОД и НОК чисел a и b равно произведению чисел a и b:
НОД (a, b) * НОК (a, b) = ab.
Нельзя утверждать, что это свойство выполняется для всех натуральных чисел, потому что оно не доказано (три примера не являются доказательством).
Рассмотрим числа 18 и 24:
18 = 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Находим наибольший общий делитель (НОД) этих чисел:
НОД (18, 24) = 2 * 3 = 6
Теперь определим наименьшее общее кратное (НОК):
НОК (18, 24) = 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 18 * 4 = 72
Проверим гипотезу:
НОК (18, 24) * НОД (18, 24) = 72 * 6 = 432
Произведение чисел:
18 * 24 = 432
Таким образом, гипотеза верна для этих чисел.
Теперь проверим для чисел 42 и 70:
42 = 2 * 3 * 7
70 = 2 * 5 * 7
Находим НОД:
НОД (42, 70) = 2 * 7 = 14
Определяем НОК:
НОК (42, 70) = 2 * 5 * 7 * 3 = 70 * 3 = 210
Проверяем гипотезу:
НОК (42, 70) * НОД (42, 70) = 210 * 14 = 2940
Произведение чисел:
42 * 70 = 2940
Гипотеза верна и для этих чисел.
Рассмотрим числа 24 и 25:
24 = 2 * 2 * 2 * 3
25 = 5 * 5
Находим НОД:
НОД (24, 25) = 1
Определяем НОК:
НОК (24, 25) = 24 * 25 = 600
Проверяем гипотезу:
НОК (24, 25) * НОД (24, 25) = 600 * 1 = 600
Произведение чисел:
24 * 25 = 600
Гипотеза верна и для этих чисел.
Гипотеза заключается в том, что произведение НОД и НОК двух чисел a и b равно произведению самих чисел a и b:
НОД (a, b) * НОК (a, b) = a * b
Однако нельзя утверждать, что это свойство выполняется для всех натуральных чисел, так как оно не доказано. Три примера не являются доказательством.
